检察机关开展法律监督的范围在刑事挂案久拖不决的情境下，主要包括以下几类：

1. 立案监督：

   • 监督内容：检察机关有权对公安机关的立案活动进行监督，确保公安机关对应当立案的案件及时立案，不应当立案的案件不立案。在刑事挂案久拖不决的情况下，如果公安机关存在应当立案而不立案，或者立案后久拖不决、不进行侦查的情况，检察机关可以依法进行监督，要求公安机关说明理由，并视情况发出《纠正违法通知书》或《检察建议书》，督促公安机关及时立案或进行侦查。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，检察机关对公安机关的立案活动享有监督权。

2. 侦查活动监督：

   • 监督内容：检察机关对公安机关的侦查活动是否合法进行监督，包括侦查措施的采取、侦查程序的遵守等。在刑事挂案久拖不决的情况下，如果公安机关在侦查过程中存在违法行为，如超期羁押、刑讯逼供、非法取证等，检察机关可以依法进行监督，要求公安机关纠正违法行为，并视情况追究相关人员的法律责任。
   • 法律依据：同样依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，检察机关对侦查活动享有监督权。

3. 审判活动监督：

   • 监督内容：虽然刑事挂案久拖不决主要涉及立案和侦查阶段，但检察机关对审判活动也享有监督权。如果案件进入审判阶段后，法院存在久拖不决、程序违法等情况，检察机关可以依法进行监督，提出抗诉或检察建议，确保审判活动的公正、高效进行。不过，在刑事挂案的语境下，此点更多作为检察机关全面监督职能的体现，而非直接针对挂案问题的监督。
   • 法律依据：依据《中华人民共和国刑事诉讼法》中关于审判监督的相关规定。

4. 对特殊案件的监督：

   • 监督内容：对于涉及国家利益、社会公共利益或公民重大权益的特殊案件，如职务犯罪案件、毒品犯罪案件等，检察机关会加强监督力度，确保案件得到及时、公正的处理。在刑事挂案久拖不决的情况下，如果案件属于此类特殊案件，检察机关会特别关注，并采取更加积极的监督措施。
   • 法律依据：根据相关法律法规及检察机关的办案规定，对特殊案件享有更严格的监督权。

针对刑事挂案久拖不决的具体建议：

• 及时沟通：如果您的案件存在久拖不决的情况，建议及时与检察机关沟通，了解案件进展及原因，并表达您的诉求和关切。
• 申请监督：如果您认为公安机关或法院在处理案件过程中存在违法行为或不当行为，可以向检察机关申请监督，要求检察机关依法履行监督职责。
• 法律援助：如果您在处理案件过程中遇到法律难题或需要法律帮助，可以向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。

总结来说，检察机关在刑事挂案久拖不决的情况下，主要通过立案监督、侦查活动监督、审判活动监督以及对特殊案件的监督来履行其法律监督职责。如果您遇到此类问题，建议及时与检察机关沟通并申请监督，同时也可以向我咨询以获取专业的法律帮助。