自然人和公司签订合同后，自然人可以申请发票，但具体能否成功开具取决于合同性质及税务规定。以下分情况说明：

1. 自然人作为销售方（提供服务/货物）
   若自然人与公司签订的合同属于销售货物、提供劳务或服务（如咨询、设计、运输等），自然人作为销售方需向公司开具发票。此时：

   • 税务登记要求：若自然人已办理临时税务登记或个体工商户登记，可自行开具发票（包括增值税普通发票或专用发票，具体取决于纳税人身份）；
     
   • 未登记情况：若未办理税务登记，自然人可向税务机关申请代开发票（通常为普通发票），需提供合同、付款证明、身份证明等材料，并缴纳相应税费（如增值税、个人所得税等）。

2. 自然人作为购买方（接受服务/货物）
   若自然人与公司签订的合同属于购买商品或接受服务（如采购设备、委托加工等），自然人作为购买方通常无权直接要求公司开具以自己名义为抬头的发票。因为：

   • 发票的开具需以实际经营业务为基础，公司作为销售方，发票抬头应为购买方（即合同相对方）。若自然人以个人名义签订合同，公司可能拒绝开具个人抬头的发票（尤其是增值税专用发票，因个人无法抵扣进项税）；
     
   • 例外情形：若自然人代表其他企业或组织签订合同（如作为代理人），且合同明确约定发票抬头为该企业/组织，则公司应按约定开具。此时自然人需提供授权委托书等证明材料。

3. 税务合规建议

   • 明确合同主体：自然人若需以个人名义签订合同并获取发票，建议提前咨询税务机关，确认是否需办理税务登记或代开发票；
     
   • 避免风险：若自然人实际代表企业签订合同，应以企业名义签署，并要求公司开具企业抬头的发票，以避免税务风险（如个人报销被认定为偷逃税款）；
     
   • 保留证据：无论何种情况，均需保存合同、付款记录、沟通记录等材料，以备税务核查。

总结：自然人能否申请发票需结合合同角色（销售方或购买方）及税务登记情况判断。若您有具体合同场景或税务问题，可直接向我咨询，我会结合细节进一步分析。