结论：在责任认定书已下达，对方逃逸且受害人死亡的情况下，公安机关确实会抓捕逃逸者，并且逃逸者将面临严厉的法律制裁。
分析说明：
逃逸行为的法律性质：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，交通事故发生后，肇事者有义务立即停车、保护现场、抢救伤者，并迅速报告公安机关交通管理部门。逃逸行为不仅违反了这一法定义务，还可能构成犯罪。
逃逸导致受害人死亡的法律后果：
- 如果逃逸行为直接导致受害人死亡，或者逃逸者在逃逸过程中又发生其他交通事故导致他人死亡，那么逃逸者将面临更为严重的刑事处罚。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，因逃逸致人死亡的，可能构成交通肇事罪，并处七年以上有期徒刑。
公安机关的抓捕行动：
- 在责任认定书下达后，公安机关已经掌握了足够的证据来认定逃逸者的责任。为了维护社会秩序和公平正义，公安机关会立即启动抓捕程序，对逃逸者进行追捕。一旦逃逸者被抓获，将面临法律的制裁。
后续行动建议：
- 配合公安机关调查：作为受害人家属或相关方，应积极配合公安机关的调查工作，提供必要的证据和信息，以便公安机关尽快抓捕逃逸者。
- 关注案件进展：及时关注案件的进展情况，了解逃逸者的抓捕和审判情况。如果需要，可以寻求法律援助或咨询专业律师，以维护自己的合法权益。
- 心理疏导与支持：面对这样的悲剧，受害人家属可能会经历巨大的心理创伤。建议寻求专业的心理疏导和支持，以帮助自己度过难关。
特殊场景提醒：
- 如果逃逸者在逃逸过程中又发生了其他交通事故，或者逃逸者本身存在酒驾、毒驾等违法行为，那么其将面临更为复杂的法律后果和更严厉的处罚。
- 在某些情况下，逃逸者可能会试图通过隐藏、转移财产等方式来逃避法律责任。因此，受害人家属应密切关注逃逸者的财产状况，并及时向公安机关报告可疑情况。
行动指引：如果您或您身边的人遇到了类似的情况，或者有任何关于交通事故、婚姻家庭、合同纠纷等方面的法律问题，都可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况，提供专业的法律建议和帮助。