父母丢下孩子的行为，根据情节轻重及具体行为方式，可能涉嫌遗弃罪甚至故意杀人罪，均须承担相应的法律责任。以下是对此问题的详细分析：
一、遗弃罪
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条的规定，对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
构成要件：
- 主体：父母作为未成年子女的法定监护人，在法律上负有抚养教育的义务，因此属于遗弃罪主体的适格范围。
- 主观方面：表现为故意，即父母明知自己的行为会使小孩的生命、身体处于危险状态，并希望或放任这种结果发生。
- 客体：侵犯的客体是被害人在家庭成员中的平等权利，特别是小孩在家庭中应享有的被抚养和照顾的权利。
- 客观方面：表现为对父母应当扶养而拒不扶养，且情节恶劣的行为。例如，将患有重病或生活不能自理的小孩丢弃在危险场所，或长时间忽视小孩的基本生活需求，导致其生命、健康受到严重威胁。
情节恶劣的情形：
- 由于遗弃而致被害人重伤、死亡的；
- 被害人因被遗弃而生活无着，流离失所，被迫沿街乞讨的；
- 因遗弃而使被害人走投无路被迫自杀的；
- 行为人屡经教育，拒绝改正而使被害人的生活陷入危难境地的等。
二、故意杀人罪
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百三十二条的规定，故意杀人的，处死刑、无期徒刑或者十年以上有期徒刑；情节较轻的，处三年以上十年以下有期徒刑。
构成要件：
- 若父母将孩子置于极端危险或难以被发现救助的地点，如荒郊野外、深山老林、冰冷河流中，表明其主观上存在非法剥夺孩子生命的故意，且这种行为极有可能导致孩子死亡。此时，父母的行为已对孩子的生命安全构成紧迫且现实的危险，其主观意图不再是单纯的拒绝扶养，而是追求或放任孩子死亡结果的发生。
三、法律建议与警示
法律责任：
- 父母作为孩子的法定监护人，承担着抚养、教育和保护孩子的重任。任何形式的遗弃或伤害孩子行为都是不可接受的，也将受到法律的严惩。
合法途径：
- 如果孩子确实无法由父母直接抚养，应通过合法的送养或寄养途径解决，而非简单遗弃。例如，可以联系社会福利机构或相关部门，寻求合法的安置方式。
社会关注与保护：
- 社会各界也应加强对弱势群体的关注和保护，共同营造一个安全、和谐的成长环境。对于发现的遗弃行为，应及时向相关部门报告，以便及时采取措施保护孩子的权益。
总结来说，父母丢下孩子的行为是否构成犯罪，需根据具体情况和法律条文来判断。在不构成犯罪的情况下，父母应尽快回归并履行抚养责任。若构成遗弃罪或故意杀人罪，则将依法承担相应的法律责任。因此，在面对此类问题时，建议直接向我咨询，以确保法律的准确适用和保护相关当事人的合法权益。