行政违法行为监督案件主要包括以下几类：
行政机关违法行使职权或不行使职权的案件：
- 这类案件涉及行政机关在行使职权过程中，违反法律法规的规定，滥用职权、玩忽职守或者徇私舞弊等行为。例如，行政机关在审批、许可、处罚等过程中，未按照法定程序进行，或者超越、滥用职权，给公民、法人或其他组织造成损害的。同时，也包括行政机关应当行使职权而未行使，导致公民、法人或其他组织合法权益受到侵害的案件。
行政机关侵犯公民、法人或其他组织合法权益的案件：
- 这类案件主要指行政机关在行使职权过程中，直接侵犯了公民、法人或其他组织的合法权益，如非法限制人身自由、非法搜查、非法侵入住宅、非法扣押财产等。这些行为直接违反了法律法规的规定，侵犯了公民的合法权益，应当受到监督和纠正。
行政机关不依法履行职责，导致社会公共利益受损的案件：
- 在这类案件中，行政机关虽然未直接侵犯公民、法人或其他组织的合法权益，但由于其不依法履行职责，如未依法对环境污染、食品安全等问题进行监管，导致社会公共利益受到损害。这类案件也属于行政违法行为监督案件的范畴，因为行政机关有义务依法履行职责，保护社会公共利益。
行政机关在行政合同、行政协议等行政行为中违法违约的案件：
- 随着行政合同、行政协议等行政行为的广泛应用，行政机关在这些行为中违法违约的情况也时有发生。例如，行政机关在签订行政合同后，未按照合同约定履行义务，或者违反合同约定擅自变更、解除合同等。这些行为不仅损害了合同相对方的合法权益，也破坏了行政机关的公信力和形象，因此也应当受到监督和纠正。
法律背景与建议：
法律背景：行政违法行为监督案件是检察机关依法对行政机关的行政行为进行监督的重要方式之一。通过监督行政机关的行政行为，可以促使行政机关依法行使职权、履行职责，保护公民、法人或其他组织的合法权益，维护社会公共利益。
法律建议：如果您发现行政机关存在上述违法行为，可以向检察机关提出监督申请。检察机关将依法进行调查核实，并根据调查结果采取相应的监督措施，如提出检察建议、提起行政公益诉讼等。同时，您也可以咨询专业律师，了解具体的法律程序和维权途径，以便更好地维护自己的合法权益。
在处理行政违法行为监督案件时，需要充分了解相关法律法规和政策规定，确保监督行为的合法性和有效性。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。