公司合法开除员工是否需要赔偿，主要取决于开除的原因和是否符合相关法律法规的规定。 具体来说，有以下几种情况：

一、合法开除无需赔偿的情况

根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿金：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件：

   • 公司需有明确的录用条件和考核标准，并能提供证据证明员工不符合这些条件。例如，员工在试用期内多次未能完成工作任务，且经培训后仍无法胜任。

2. 严重违反用人单位的规章制度：

   • 公司的规章制度需经过民主程序制定并公示，员工的行为确实违反了这些制度中的严重违纪条款。如员工多次旷工、在工作场所打架斗殴等。

3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害：

   • 员工因故意或重大过失导致公司遭受重大经济损失，如泄露公司商业秘密、挪用公司资金等。

4. 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正：

   • 员工在兼职过程中，因兼职工作影响了本职工作，且经公司提出后仍拒不改正。

5. 因劳动合同无效的情形致使劳动合同无效：

   • 如员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危使公司在违背真实意思的情况下订立劳动合同。

6. 被依法追究刑事责任：

   • 员工因犯罪行为被人民法院判处刑罚，如盗窃罪、诈骗罪等。

二、需要支付经济补偿的合法开除情形

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定，在以下情况下，公司解除劳动合同需支付经济补偿：

1. 员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作也不能从事公司另行安排的工作：

   • 公司需支付经济补偿，并提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资。

2. 员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任：

   • 公司需支付经济补偿，并考虑为员工提供培训或调整工作岗位。

3. 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且公司与员工未能就变更合同内容达成协议：

   • 如公司因业务调整需要搬迁至其他城市，员工因个人原因无法随迁，且双方无法就变更劳动合同内容达成一致。

4. 经济性裁员：

   • 公司因经营困难、重整等原因需要裁减人员，需向被裁减的员工支付经济补偿。经济补偿的计算方法依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，即按员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

三、需要支付赔偿金的违法开除情形

如果公司没有合法的理由或未遵循法定的程序开除员工，即属于违法解除劳动合同。在这种情况下，员工可以要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍。公司应依照《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定支付赔偿金。

总结与建议：

公司在开除员工时，必须严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。根据开除的具体原因和情况，公司可能需要支付经济补偿或赔偿金，也可能无需支付任何赔偿。因此，建议公司在处理员工开除事宜时，务必谨慎行事，确保合法合规，以避免不必要的法律风险和经济损失。如果您在劳动工伤方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。