教师因交通肇事罪被判有期徒刑10个月，缓刑一年，是否会被开除公职，需分情况讨论：
一、公办教师情况
法律依据：
- 根据《事业单位工作人员处分暂行规定》第二十二条，事业单位工作人员被依法判处刑罚（包括缓刑）的，可给予降低岗位等级或撤职以上处分；被依法判处有期徒刑以上刑罚的，则给予开除处分。
- 公办教师属于事业单位工作人员范畴，因此，若因交通肇事被判缓刑，虽未实际执行有期徒刑，但仍属于“被依法判处刑罚”的情形，学校或教育部门有权依据规定给予相应处分，包括可能的开除处分。
实际情况考量：
- 事故严重性：交通肇事罪的严重性直接影响学校的处理决定。若事故情节较轻，未造成严重后果，学校可能倾向于给予较轻处分，如降低岗位等级或撤职，而非直接开除。
- 教师表现：教师平时的工作表现、教学能力、对学校的贡献以及认错态度等，都是学校在处理时的重要考量因素。若教师平时表现良好，此次交通肇事为偶发事件，且教师积极配合调查、认错态度诚恳，学校可能会从轻处理。
- 学校规章制度：学校内部的规章制度对于教师的处分具有约束力。学校在处理时，必须遵循相关法律法规及自身规章制度的规定。若学校规章制度中有明确关于此类情形的处理规定，学校应依规处理。
二、私立学校教师情况
法律依据：
- 私立学校教师与学校之间基于劳动合同建立雇佣关系。
- 若劳动合同或学校规章制度中明确规定，教师被判处刑罚（含缓刑）属严重违反单位规章制度，学校有权解除劳动合同。
实际情况考量：
- 劳动合同及规章制度：私立学校教师是否被开除，还需具体查看其与学校签订的劳动合同及学校规章制度。若合同或规章制度中有明确规定，学校应依规处理。
- 事故影响：与公办学校类似，事故的严重性、教师表现等因素也会影响私立学校的处理决定。若事故造成严重后果，且引发社会广泛关注，学校为维护形象和声誉，可能会考虑开除该教师。
综合建议
对于公办教师：
- 若因交通肇事被判缓刑，应积极配合学校或教育部门的调查和处理工作，争取减轻处分。
- 可以主动向学校或教育部门说明事故情况、悔罪态度及平时表现，争取从轻处理。
对于私立学校教师：
- 仔细阅读劳动合同及学校规章制度，了解学校对于此类情形的处理规定。
- 若认为学校的处理决定不合理或违法，可以依法维护自己的合法权益，如申请劳动仲裁或提起诉讼。
无论何种情况，教师都应积极面对问题，配合相关部门的调查和处理工作，并努力改正错误，争取更好的处理结果。若您有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，可以直接向我咨询。