您及家人受到恐吓威胁时，完全可以向警方申请保护，这是法律赋予公民的正当权利。以下从不同角度为您详细分析：

一、法律依据与警方职责

根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，恐吓威胁他人安全的行为属于违法行为，警方有责任对此类行为进行调查处理，并采取必要的措施保护受害人的安全。这意味着，当您或您的家人受到恐吓威胁时，警方不仅有权介入，而且有义务采取行动。

二、申请警方保护的具体方式

1. 及时报警：一旦发现受到恐吓威胁，应立即向当地公安机关报案，详细陈述恐吓威胁的内容、来源以及可能对您和家人造成的危害。
2. 提供证据：尽可能收集并保存与恐吓威胁相关的证据，如短信、邮件、录音、视频等，这些证据将有助于警方更快地查明事实，采取有效的保护措施。
3. 配合警方调查：在警方调查过程中，应积极配合，提供必要的协助和信息，以便警方能够全面了解情况，做出准确的判断。

三、警方可能采取的保护措施

1. 调查取证：警方会对恐吓威胁的来源进行调查，收集相关证据，以确定违法行为的性质和严重程度。
2. 警告制止：对于轻微的恐吓威胁行为，警方可能会对行为人进行警告，要求其停止违法行为，并告知其可能面临的法律后果。
3. 采取强制措施：如果恐吓威胁行为严重，且行为人拒不停止违法行为，警方有权依法对其采取强制措施，如拘留、逮捕等，以确保您和家人的安全。
4. 提供保护性措施：在必要时，警方还可以为您提供保护性措施，如安排警力巡逻、提供安全防范建议等，以增强您和家人的安全感。

四、特殊情况下的应对建议

1. 如果恐吓威胁来自特定个人或组织：除了向警方报案外，您还可以考虑向法院申请人身安全保护令。根据《中华人民共和国反家庭暴力法》等相关法律规定，法院可以根据您的申请，对实施恐吓威胁行为的个人或组织发出禁止令，要求其停止违法行为，并不得接近您和您的家人。
2. 如果恐吓威胁行为持续发生或加剧：在这种情况下，您应及时向警方更新情况，并要求警方加大保护力度。同时，您也可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师，以了解更多法律途径和保护措施。

温馨提示：面对恐吓威胁时，保持冷静和理智至关重要。不要因恐惧而采取过激行为或隐瞒事实，这可能会对您和家人的安全造成更大威胁。及时报警并配合警方调查是保护自己和家人的最佳方式。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。