结论前置：关于行政处罚第66条中延期申请的时间问题，当事人确实需要在行政处罚决定书载明的履行期限内提出延期缴纳罚款的申请，而非在行政处罚决定书下达后的15日内。以下是对此问题的详细解答：

一、法律依据与申请条件

根据《中华人民共和国行政处罚法》第六十六条的规定，行政处罚决定依法作出后，当事人应当在行政处罚决定书载明的期限内予以履行。若当事人确有经济困难，需要延期或者分期缴纳罚款的，可以经当事人申请和行政机关批准，暂缓或者分期缴纳。这里的关键是，申请延期缴纳罚款的时间节点是行政处罚决定书载明的履行期限内，而非行政处罚决定书下达后的固定天数（如15日）。

二、申请流程与材料准备

1. 申请流程：

   • 当事人应在行政处罚决定书载明的履行期限内，向作出行政处罚决定的行政机关提出延期缴纳罚款的申请。
   • 行政机关收到申请后，会对申请材料进行审核，并根据审核情况作出决定。
   • 若申请获得批准，行政机关会出具同意延期缴纳罚款的决定书，明确延期的具体期限；若申请未获批准，也会说明不予批准的理由。

2. 材料准备：

   • 延期缴纳罚款申请书：详细写明申请人的基本信息、被处罚的具体事项、申请延期缴纳罚款的具体期限以及合理的申请理由。
   • 证明材料：根据申请理由提供相应的证明文件，如政府相关部门的受灾证明、医院的诊断证明和医疗费用清单、企业的财务报表和银行资金流水等，以充分证明当事人的经济困难和无法按时缴纳罚款的原因。

三、注意事项与法律后果

1. 诚实信用：当事人在申请过程中必须诚实信用，不得提供虚假材料或隐瞒真实情况。否则，不仅申请可能被驳回，还可能面临更严重的法律责任。
2. 延期期限：行政处罚罚款申请延期的期限最长为两年，但具体延期时间由行政机关根据违法行为的严重程度和当事人实际困境等因素综合考量确定。
3. 法律救济途径：如果行政机关拒绝了当事人的申请，当事人可以依法申请行政复议或提起行政诉讼来维护自己的合法权益。

四、举例说明

假设某企业因违反环保法规被处以罚款，但因近期经营困难，无法按时全额缴纳罚款。该企业可以在行政处罚决定书载明的履行期限内，向作出处罚决定的环保部门提出延期缴纳罚款的申请，并附上企业的财务报表和银行资金流水等证明材料。若环保部门审核后认为该企业确实存在经济困难，且申请理由合理，可能会批准其延期缴纳罚款的申请。

综上所述，申请行政处罚罚款延期缴纳是一个涉及多个法律知识点的复杂过程。当事人需要充分了解相关规定、准备充分的申请材料，并按照规定的流程和时间节点进行操作。若您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。