结论概述：结合新闻背景中富力城社区网格员联合街道妇联为孕妇提供心理疏导的案例，孕妇及家属在孕期确实可能面临心理支持需求，从法律层面讲，他们有权要求持续的心理支持，但这一权利的实现需依赖具体情境及现有法律框架下的合理诉求与救济途径。以下从多个维度进行详细分析：

一、法律权利基础

1. 健康权保障：根据《中华人民共和国民法典》第一千零四条，自然人享有健康权，包括心理健康。孕妇作为特殊群体，其心理健康直接关系到自身及胎儿的健康，因此有权获得必要的心理支持以维护其健康权。

2. 社会救助与公共服务：虽然我国法律并未直接规定社区或政府必须为孕妇提供持续的心理支持，但根据《中华人民共和国基本医疗卫生与健康促进法》等相关法律法规，国家和社会有责任提供基本的医疗卫生服务，包括心理健康服务。社区网格员和妇联的介入，可视为社会公共服务的一种体现，旨在满足居民的基本健康需求。

二、权利实现的途径与限制

1. 合理诉求的表达：孕妇及家属有权向社区、妇联或相关政府部门表达其心理支持的需求。如新闻背景中所示，李女士通过向网格员求助，成功获得了心理疏导服务。这表明，在合理表达诉求的情况下，孕妇及家属有可能获得相应的心理支持。

2. 资源与能力的限制：然而，权利的实现也受到资源与能力的限制。社区、妇联或政府部门可能因资源有限或专业能力不足，无法为所有孕妇提供持续的心理支持。在这种情况下，孕妇及家属可能需要寻求其他途径，如专业心理咨询机构或医院的心理科，以获得更专业的心理支持。

三、新闻背景下的法律启示

1. 社区服务的积极作用：新闻背景中的案例展示了社区在居民心理健康支持方面的积极作用。这表明，社区作为基层治理单元，有能力也有责任为居民提供基本的心理健康服务，尤其是针对特殊群体如孕妇的心理支持。

2. 多方协作的重要性：案例中网格员与街道妇联的联合行动，体现了多方协作在解决居民心理健康问题中的重要性。未来，可以进一步探索社区、政府、专业机构等多方协作的模式，以更有效地满足孕妇及家属的心理支持需求。

四、建议与措施

1. 增强社区心理服务能力：社区可以通过培训网格员、招募志愿者或与专业机构合作等方式，增强其心理服务能力，以便更好地满足孕妇及家属的心理支持需求。

2. 完善相关法律法规：政府可以考虑出台更具体的法律法规或政策文件，明确社区、政府等在孕妇心理健康支持方面的责任与义务，为孕妇及家属提供更明确的法律保障。

3. 提高公众意识：通过宣传教育等方式，提高公众对孕妇心理健康问题的认识与重视程度，鼓励孕妇及家属主动寻求心理支持，并为其提供必要的帮助与支持。

总结来说，孕妇及家属在孕期有权要求持续的心理支持，但这一权利的实现需依赖具体情境及现有法律框架下的合理诉求与救济途径。未来，可以通过增强社区心理服务能力、完善相关法律法规以及提高公众意识等措施，进一步保障孕妇及家属的心理健康权益。如有更多法律疑问，可直接向我咨询。