将放在公共地下室的狗笼遗失是否构成盗窃，需分情况讨论：

1. 若狗笼是被他人非法占有或故意拿走：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国刑法》第二百六十四条的规定，盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，构成盗窃罪。在此情境下，若狗笼的价值达到“数额较大”的标准（具体标准因地区而异，一般为一千元至三千元以上），且拿走狗笼的行为是出于非法占有的目的，那么该行为就可能构成盗窃罪。
   • 法律建议：如果发现狗笼被他人非法占有或故意拿走，且价值较大，建议立即报警，并提供相关证据（如监控录像、证人证言等），以便警方进行调查处理。

2. 若狗笼是因管理不善或他人误拿而遗失：

   • 法律背景：在此情况下，由于拿走狗笼的行为并非出于非法占有的目的，而是由于管理不善或误拿等原因导致的，因此不构成盗窃罪。但是，如果因管理不善导致狗笼遗失，且该狗笼对所有人具有重要价值，那么所有人可能有权要求管理方承担相应的赔偿责任。
   • 法律建议：如果狗笼是因管理不善而遗失，建议与管理方沟通协商，寻求赔偿或解决方案。如果沟通无果，可以考虑通过法律途径维护自己的权益。同时，为了防止类似情况再次发生，建议加强对公共地下室的管理和监控。

额外法律提示：

• 在处理此类事件时，务必保留好相关证据，如购买狗笼的发票、监控录像、证人证言等，以便在需要时提供证明。
• 如果狗笼的价值不大，但对其具有特殊情感价值或纪念意义，也可以考虑通过民事途径（如起诉要求返还或赔偿精神损失等）来维护自己的权益。不过，这种情况下需要评估诉讼成本和收益，谨慎决策。

总结与进一步思考：

• 放在公共地下室的狗笼遗失是否构成盗窃，关键在于拿走狗笼的行为是否出于非法占有的目的，以及狗笼的价值是否达到构成盗窃罪的标准。
• 在处理此类事件时，建议根据实际情况选择合适的法律途径来维护自己的权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。