核心结论：缓刑期间若因母亲突发病需外出，应首先向考察机关（一般为当地司法所）提出书面申请，说明外出原因、时间、地点等信息，经批准后方可外出；若情况紧急，可先口头申请，事后及时补交书面材料。

详细分析：

1. 法律义务与规定：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第七十五条的规定，被宣告缓刑的犯罪分子，在缓刑考验期限内，应当遵守法律、行政法规，服从监督；按照考察机关的规定报告自己的活动情况；遵守考察机关关于会客的规定；离开所居住的市、县或者迁居，应当报经考察机关批准。
   • 因此，在缓刑期间，若需离开所居住的市、县，必须事先获得考察机关的批准。

2. 申请流程与材料：

   • 书面申请：应向考察机关（如当地司法所）提交书面申请，详细说明外出原因（如母亲突发病需陪同就医）、外出时间、预计返回时间、外出地点等信息。
   • 证明材料：若可能，应附上相关证明材料，如医院的诊断证明、紧急就医的证明等，以证明外出事由的紧急性和必要性。
   • 紧急情况处理：若情况紧急，无法事先提交书面申请，可先通过电话或其他方式口头向考察机关报告，并说明情况，事后及时补交书面申请和相关证明材料。

3. 考察机关的审批：

   • 考察机关在收到申请后，会根据具体情况进行审批。若认为外出事由合理且符合法律规定，会批准申请，并可能要求申请人定期报告外出期间的活动情况。
   • 若考察机关认为外出事由不充分或存在风险，可能会拒绝批准申请，并要求申请人遵守缓刑期间的限制规定。

4. 注意事项：

   • 遵守审批要求：一旦获得批准，应严格按照审批的时间、地点和活动范围进行外出，不得擅自变更或延长外出时间。
   • 保持联系：在外出期间，应保持与考察机关的联系，及时报告自己的活动情况和身体状况。
   • 及时返回：外出结束后，应及时返回居住地，并向考察机关报告返回情况。

建议：

• 提前规划：若已知母亲身体状况不佳，可能需外出就医，可提前与考察机关沟通，了解申请流程和所需材料，以便在紧急情况下能够迅速提交申请。
• 保持沟通：在外出期间，与考察机关保持密切联系，及时报告任何变化或突发情况。
• 遵守法律：严格遵守缓刑期间的各项规定，不得因外出而违反法律或考察机关的要求。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。