项目部通常不可以和私人签订设备租赁合同。具体分析如下：

一. 项目部不具备独立法人资格

1. 项目部一般是公司为了特定项目而设立的临时性组织机构，它并不具备独立的法人资格，因此不能独立对外签订合同。
2. 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，法人是具有民事权利能力和民事行为能力的组织，能够依法独立享有民事权利和承担民事义务。而项目部作为公司的内设机构，并不具备这一法律地位。

二. 合同签订的主体要求

1. 签订合同的双方应当是具有相应民事权利能力和民事行为能力的主体。
2. 私人作为自然人，具备签订合同的民事权利能力和民事行为能力，但项目部由于不具备法人资格，因此不能作为合同的签订主体。

三. 建议的解决方式

1. 由公司签订：如果项目部需要租赁设备，建议由公司作为签订合同的主体，与私人或设备租赁公司签订正式的租赁合同。
2. 授权委托：如果公司确实需要项目部代为处理租赁事宜，可以通过授权委托的方式，明确项目部在特定范围内的代理权限，并由公司承担相应的法律责任。

综上所述，项目部通常不具备与私人签订设备租赁合同的法律资格。如有进一步需要，您可以继续咨询我。