调解中心本身不具备直接发出律师函的法定权限，但可通过以下两种方式间接实现类似效果：

1. 调解中心可协助当事人委托律师发函
   根据《人民调解法》第17条，调解中心作为中立第三方，主要职能是组织调解、促成和解。若调解过程中发现一方存在违约或侵权行为，调解员可建议权利方通过法律途径解决，并协助其联系执业律师。此时律师函由律师事务所出具，调解中心仅起居间作用，函件内容仍需律师独立审查并签署。

2. 调解中心出具的书面通知不具有律师函效力
   实践中部分调解机构会向当事人发送《调解告知书》或《履约提醒函》，此类文件属于程序性通知，仅载明调解进展、权利义务等事项，不具备律师函的法律威慑力。根据《律师法》第28条，只有执业律师受当事人委托后，才能以律师事务所名义发出正式律师函，其内容可包含声明权利、要求履约、警示后果等法律主张。

延伸说明：
若调解失败后需通过律师函推进纠纷解决，建议按以下流程操作：
（1）与调解中心确认调解终结，取得书面调解终止证明；
（2）携带调解记录、证据材料等委托执业律师；
（3）律师根据案情起草函件，经律师事务所审核后签发。
需注意，律师函仅是法律程序的前置警示，若对方拒不回应，仍需通过诉讼或仲裁主张权利。如有具体纠纷需要处理，可直接向我咨询相关法律方案。