结论：项目部未与员工签订劳动合同并辞退员工，员工有权要求项目部支付未签劳动合同的双倍工资差额以及可能的违法解除劳动合同的赔偿金。具体赔偿金额和方式需根据实际情况确定。

分析说明：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额：

   • 法律依据：根据《劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
   • 计算方式：若员工在项目部工作超过一个月且未满一年，项目部应支付员工从第二个月起至离职时止的双倍工资差额。例如，员工工作了6个月，则项目部应支付5个月的双倍工资差额（第一个月不计算在内）。
   • 具体公式：\(双倍工资差额 = 月工资 \times (工作月数 - 1)\)（其中，工作月数指员工实际工作的月数，且超过一个月不满一年）。

2. 违法解除劳动合同的赔偿金：

   • 法律依据：根据《劳动合同法》第四十八条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。”以及第八十七条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
   • 经济补偿标准：根据《劳动合同法》第四十七条：“经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。”
   • 赔偿金计算方式：若项目部违法解除劳动合同，且员工不要求继续履行劳动合同或劳动合同已经不能继续履行，则项目部应支付员工经济补偿标准的二倍作为赔偿金。例如，员工工作了9个月，则项目部应支付2个月的工资作为赔偿金（因为9个月按一年计算，经济补偿为1个月工资，赔偿金为经济补偿的二倍）。
   • 具体公式：\(赔偿金 = 月工资 \times 2 \times 工作年限（以年为单位，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的按半个月计算，但赔偿金计算时直接按二倍经济补偿算，即工作年限满六个月不满一年按一年算，支付2个月工资；不满六个月支付1个月工资）\)（此处为简化说明，实际计算时需根据具体工作年限调整）。

特殊场景：

• 若员工在项目部工作不满一个月即被辞退，且未签劳动合同，则员工只能主张违法解除劳动合同的赔偿金（若项目部违法解除），无法主张未签劳动合同的双倍工资差额。
• 若项目部辞退员工有合法理由（如员工严重违反公司规章制度等），则无需支付赔偿金，但仍需支付未签劳动合同的双倍工资差额（若符合支付条件）。

行动建议：

• 员工应收集与项目部的劳动关系证明（如工作证、工资条、考勤记录等）以及被辞退的证据（如辞退通知、聊天记录等）。
• 员工可以先与项目部协商赔偿事宜，若协商不成，可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求项目部支付未签劳动合同的双倍工资差额和违法解除劳动合同的赔偿金。

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