不履行监护义务是否构成犯罪，这确实是一个涉及法律责任的重要问题。首先，我们需要明确的是，不履行监护义务并不一定直接构成犯罪，但它可能引发一系列法律后果，具体取决于行为的严重性和对被监护人造成的影响。
一、不履行监护义务可能面临的法律责任
受训诫：根据我国预防未成年人犯罪法和未成年人保护法的相关规定，如果父母不履行监护职责，侵害未成年人合法权益，或者放任未成年人有不良行为或严重不良行为，他们可能会受到父母所在单位、基层群众组织或公安机关的训诫。
受行政处罚：未成年人保护法还规定，如果父母或其他监护人没有尽到监护职责，构成违反治安管理行为的，公安机关将依法给予行政处罚。例如，虐待、遗弃家庭成员或没有独立生活能力的被扶养人，可能会面临五日以下拘留或警告的处罚。
承担民事责任：根据民法通则（现已被民法典替代，但相关原则仍适用）的规定，监护人不履行监护职责或侵害被监护人合法权益的，应当承担民事责任。这包括停止侵害、排除妨害、消除危害等责任方式。
监护权被剥夺：在极端情况下，如果父母或其他监护人严重侵害未成年人权益，如性侵害、出卖、遗弃、虐待、暴力伤害未成年人，或拒不履行监护职责长达六个月以上，导致未成年人流离失所或生活无着，相关单位有权向人民法院申请撤销其监护人资格。
二、不履行监护义务可能构成犯罪的情况
特别需要注意的是，如果父母或其他监护人没有认真履行职责，遗弃没有独立生活能力的未成年人，且情节严重，使未成年人长期处于无人照料境地，根据刑法的规定，这可能构成遗弃罪。遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。一旦构成遗弃罪，监护人将面临五年以下有期徒刑的刑事处罚。
三、实际案例分析
以您提供的案例为例，木木的父母因“生而不养”，长期不履行监护职责，导致木木由祖母实际抚养。在这种情况下，如果木木的父母的行为达到了情节严重的程度，且木木因此长期处于无人照料境地，那么他们的行为就有可能构成遗弃罪。不过，在木木的案例中，法院最终是通过撤销监护人资格并指定祖母为新监护人的方式来解决问题，而没有直接追究刑事责任，这可能是因为木木的父母的行为尚未达到构成遗弃罪的严重程度，或者法院在综合考虑各种因素后认为撤销监护人资格更为适宜。
四、总结与建议
综上所述，不履行监护义务并不一定直接构成犯罪，但它可能引发一系列法律后果，包括受训诫、受行政处罚、承担民事责任以及监护权被剥夺等。在极端情况下，如果行为构成遗弃罪，监护人还将面临刑事处罚。因此，我建议所有监护人都应认真履行监护职责，确保被监护人的合法权益得到保障。如果监护人确实无法履行职责，应及时寻求法律援助或相关机构的帮助，以避免引发不必要的法律后果。