当您的车辆抵押给私人后到期没有拿回来，即借款人（抵押人）未按照约定的期限还款时，作为债权人（抵押权人），您可以按照以下步骤来处理，以确保您的权益得到合法、有效的维护：
一、核实合同条款与确认违约
首先，您需要详细查阅抵押合同，确认还款期限、违约责任以及抵押权实现方式等关键条款。通过仔细审查合同，您可以明确借款人是否已构成违约，并了解您依法享有的权利。
二、尝试友好协商
在确认违约后，我建议您主动与借款人联系，尝试通过友好协商的方式达成新的还款计划或解决方案。协商过程中，您可以了解借款人未能按时还款的具体原因，并探讨可能的延期还款、分期还款等方案。为了确保协商的有效性，建议您将协商过程以书面形式记录下来，如通过短信、微信聊天记录或签署补充协议等方式。
三、行使抵押权与法律途径
优先受偿权：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当债务人不履行到期债务时，抵押权人有权就抵押财产优先受偿。这意味着，在您的车辆抵押给私人的情况下，如果借款人未清偿债务，您有权从抵押车辆的价值中优先获得偿还。
协议处理：您可以与借款人协商，以抵押车辆折价或以拍卖、变卖所得价款优先受偿。在折价时，应参照市场价格，确保公平合理。如果双方能够达成一致，可以签署相关协议并办理相关手续。
法律追索：如果协商无果，您可以向法院提起诉讼或申请实现担保物权。法院将审查您的申请，如果符合法律规定，将裁定拍卖、变卖抵押车辆。随后，您可以依据裁定申请强制执行，通过拍卖、变卖所得价款优先受偿。
四、抵押车辆的处置与款项分配
在执行阶段，如果法院裁定拍卖或变卖抵押车辆，将会委托专业机构对车辆进行评估，并根据评估结果确定拍卖底价。通过公开拍卖的方式出售抵押车辆后，拍卖所得款项在扣除相关费用（如评估费、拍卖费、执行费等）后，将优先用于偿还您的债务。如果拍卖所得款项不足以偿还全部债务，您仍有权继续向借款人追偿剩余部分。
五、注意事项
合法合规：在整个处理过程中，您必须严格遵守法律法规，不得私自扣押、处置车辆，否则可能面临侵权等法律风险。
保护证据：请妥善保存与抵押借款相关的所有证据，包括借款合同、抵押协议、转账记录以及协商记录等。这些证据在后续纠纷解决中至关重要。
通知抵押人：在进行折价、拍卖或变卖等处置行为前，请及时通知借款人，保障其知情权。
避免冲突：在处理过程中，请保持冷静和理性，不得直接将抵押车辆开走或采取其他强制措施，以免引发不必要的冲突和违法行为。
综上所述，面对车辆抵押给私人后到期没有拿回来的情况，您应首先尝试与借款人协商解决；协商不成时，可通过法律途径来维护自身权益。在整个过程中，请务必确保行为的合法性，并遵循相关法律法规的规定。