关于私人借贷逾期利息的合法性，这是一个涉及法律条款和具体约定的问题，我会为您详细解答。

首先，要明确的是，私人借贷（即自然人之间的借贷）中逾期利息的计算，主要取决于借贷双方的约定，但这一约定并非无限制的，它必须遵循不超过合同成立时一年期贷款市场报价利率四倍的法律限制。这是为了保护借贷双方的合法权益，防止过高的利息导致不公平的交易。

具体情形分析：

1. 借贷双方约定了逾期利率：

   • 在这种情况下，出借人可以按照约定的逾期利率主张逾期利息。但需要注意的是，这个约定的利率不得超过合同成立时一年期贷款市场报价利率的四倍。如果超过了，法院在审理时将不会支持超出部分的利息。

2. 借贷双方约定了借期内利率，但未约定逾期利率：

   • 如果双方只约定了借期内的利率，而没有约定逾期利率，那么出借人可以主张借款人自逾期还款之日起，按照借期内的利率支付资金占用期间的利息。同样，这个利率也不能超过合同成立时一年期贷款市场报价利率的四倍。

3. 借贷双方既未约定借期内利率，也未约定逾期利率：

   • 在这种情况下，出借人可以主张借款人自逾期还款之日起，参照当时一年期贷款市场报价利率标准来计算逾期利息。这是法律为没有约定利率的借贷关系提供的一种默认计算方式。

法律建议：

• 在进行私人借贷时，建议双方在借款合同或借条中明确约定借期内利率、逾期利率以及还款期限等关键条款。这样可以减少潜在的纠纷，保护双方的合法权益。
• 如果发生借款纠纷，双方应首先尝试通过友好协商解决。如果协商不成，出借人可以向法院提起诉讼，并提供充分的证据来证明借款事实及逾期利息的计算依据。
• 出借人在主张逾期利息时，务必确保所主张的利率符合法律规定的上限。否则，可能面临法律风险，如法院不支持超出部分的利息。

实例说明：

假设甲向乙借款10万元，双方约定了借期内的月利率为1%，但未约定逾期利率。合同成立时一年期贷款市场报价利率为3.85%（四倍为15.4%）。如果甲逾期未还款，乙可以主张按照月利率1%计算逾期利息，但这个利率不能超过年利率15.4%的上限。如果双方约定了逾期利率为月利率2%，而这个利率超过了法律规定的上限，那么乙在主张逾期利息时，只能按不超过年利率15.4%的标准来计算。

综上所述，私人借贷逾期利息的合法性主要取决于借贷双方的约定以及相关法律法规的规定。在处理相关纠纷时，应注重证据的收集和法律的适用，以确保自身权益得到有效维护。