住宅小区三楼在一楼的墙上私自安装外用电箱是不合法的。以下从不同角度对此问题进行分析：
一、物权法角度（依据现行《民法典》物权编）
共有部分的使用：
- 根据《民法典》的相关规定，建筑物的外墙通常属于业主共有部分。共有部分的使用应当遵循业主共同决定的原则，任何单个业主或部分业主不得擅自改变其用途或进行增设。
- 三楼业主未经一楼业主及其他相关业主的同意，擅自在一楼墙上安装外用电箱，侵犯了其他业主对共有部分的共同管理权和使用权。
相邻权保护：
- 相邻权是指不动产的相邻各方在行使所有权或使用权时，因相互间依法应当给予方便或接受限制而发生的权利义务关系。
- 三楼业主的安装行为可能对一楼业主的居住安全、生活便利等造成影响，如电箱可能产生噪音、电磁辐射，或在发生故障时引发安全隐患，从而侵犯了一楼业主的相邻权。
二、安全管理角度
电气安全：
- 外用电箱的安装需要符合电气安全规范，包括电箱的选型、安装位置、接线方式等。擅自安装可能因不符合规范而导致电气火灾、触电等安全事故。
- 物业或相关部门有权对电气设施的安装进行监管，确保符合安全标准。三楼业主的私自安装行为可能逃避了这一监管，增加了安全风险。
建筑结构安全：
- 在墙上安装外用电箱可能需要对墙体进行开孔、固定等操作，这些操作可能破坏墙体的结构完整性，影响建筑的安全性能。
- 特别是对于老旧建筑或存在质量问题的墙体，擅自安装外用电箱可能引发墙体开裂、坍塌等严重后果。
三、法律责任角度
民事责任：
- 如果三楼业主的安装行为对一楼业主或其他业主造成了损害，如财产损失、人身伤害等，那么三楼业主可能需要承担相应的民事赔偿责任。
行政责任：
- 擅自安装外用电箱可能违反了城市管理、建筑安全等方面的行政法规。相关部门有权对此进行查处，并要求三楼业主拆除电箱、恢复原状，甚至可能处以罚款等行政处罚。
建议与措施
- 协商解决：三楼业主应与一楼业主及其他相关业主进行协商，就电箱的安装位置、方式等达成一致意见。如果协商无果，可以寻求物业或社区居委会的调解。
- 合法申请：如果确实需要安装外用电箱，三楼业主应向物业或相关部门提出申请，并按照规定的程序进行审批和安装。
- 法律途径：如果三楼业主的安装行为已经对一楼业主造成了损害或侵犯了其合法权益，一楼业主可以通过法律途径维护自己的权益，如向法院提起诉讼或向相关部门投诉。
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