结论：面对对门邻居在公共通道放置鞋子，物业表示无法管理并建议双方协商的情况，您可以采取以下措施来维护自己的合法权益：首先尝试与邻居友好沟通，若沟通无果，可再次要求物业履行管理职责，若物业仍不作为，您可以向相关部门投诉，最后，若上述途径均无法解决问题，您还可以考虑通过法律途径解决。

分析说明：

1. 与邻居友好沟通：

   • 法律背景：根据《民法典》中关于相邻关系的规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。邻居在公共通道放置鞋子，可能影响了您的正常通行和生活环境，您有权要求其停止该行为。
   • 建议行动：您可以先尝试与邻居进行友好沟通，说明其行为对您造成的影响，并请求其将鞋子移至私人空间或指定区域。

2. 要求物业履行管理职责：

   • 法律背景：物业作为小区的管理者，有责任维护小区的公共秩序和环境卫生。根据《物业管理条例》的相关规定，物业应当对违反管理规约的行为进行制止，并及时报告相关部门。
   • 建议行动：若与邻居沟通无果，您可以再次要求物业介入，明确告知物业其管理职责，并要求其采取措施制止邻居的不当行为。若物业仍表示无法管理，您可以要求物业出具书面说明，作为后续投诉或诉讼的证据。

3. 向相关部门投诉：

   • 法律背景：若物业不履行管理职责，您可以向当地的房地产管理部门、城市管理部门或街道办事处等相关部门进行投诉。这些部门有权对物业的管理行为进行监督和检查，并可以要求物业改正不当行为。
   • 建议行动：在投诉时，您应提供详细的证据材料，如照片、视频、物业的书面说明等，以证明邻居的行为和物业的不作为。相关部门在收到投诉后，会进行调查处理，并给出相应的答复。

4. 通过法律途径解决：

   • 法律背景：若上述途径均无法解决问题，您还可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。您可以向法院提起相邻权纠纷诉讼，要求邻居停止侵害、排除妨碍，并赔偿因此造成的损失。
   • 建议行动：在提起诉讼前，您应收集充分的证据材料，如沟通记录、物业的书面说明、投诉处理结果等。同时，您可以咨询专业律师，了解诉讼流程和注意事项，以确保自己的权益得到充分保障。

后续行动建议：

• 在处理此类纠纷时，保持冷静和理性至关重要。避免与邻居发生直接冲突，以免激化矛盾。
• 保留好所有相关的证据材料，如照片、视频、沟通记录等，以备不时之需。
• 若您对法律程序不熟悉或担心自己的权益无法得到充分保障，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。

特殊场景：

• 若邻居的行为不仅影响了您的正常通行和生活环境，还造成了安全隐患（如易燃物品堆积等），您应立即向物业和相关部门报告，并要求其采取紧急措施消除隐患。
• 若邻居的行为涉及违反治安管理或刑事犯罪（如故意毁坏财物、寻衅滋事等），您应立即向公安机关报案，并配合公安机关的调查处理工作。