结论前置：公司员工打架，公司是否可以劝退（实际应为辞退，劝退通常指协商一致解除，而打架情形下多为单方解除），需根据具体情况、公司规章制度以及打架行为的性质和后果来综合判断。
一、可以辞退的情形
严重违反公司规章制度：
- 若公司有合法有效的规章制度，且该制度明确规定了员工打架属于严重违反公司规章制度的行为，同时该规章制度已通过民主程序制定，并向员工进行了公示或告知，那么公司可以依据规章制度辞退员工。
- 实例：员工在工作时间内因琐事与同事发生激烈争执并动手打架，严重破坏了工作秩序，且该行为已被公司规章制度明确禁止，公司有权辞退该员工。
构成刑事犯罪：
- 若员工打架行为触犯刑法，被依法追究刑事责任，如因打架致人重伤被法院判处有期徒刑，那么公司可以依据《劳动合同法》的相关规定辞退员工。
造成严重后果：
- 员工打架行为若给公司造成了严重的损失或负面影响，如破坏公司设备、影响正常生产经营秩序、损害公司声誉等，即使公司规章制度未明确规定打架可辞退，公司仍可能以员工严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害为由辞退员工。
二、不可以随意辞退的情形
规章制度不合法或未公示：
- 若公司的规章制度未经民主程序制定，或未向员工公示、告知，则该规章制度不能作为辞退员工的依据，否则可能被认定为违法解除劳动合同。
打架情节轻微：
- 若员工打架情节非常轻微，未造成实际损害后果，且公司规章制度未将此类轻微打架行为列为严重违纪行为，那么公司直接辞退员工可能会被认为是滥用解除权，属于违法解除劳动合同。
三、处理建议
及时调查事实：
- 发生打架事件后，公司应立即进行调查，了解事件的起因、经过和后果，确保事实清楚，避免误判。
依据规章制度评估：
- 根据调查结果和公司规章制度，对员工打架行为进行客观评估，判断是否构成严重违纪或造成严重后果。
合法合规操作：
- 确保所有处理过程都符合法律法规的要求，如辞退员工需遵循《劳动合同法》的相关规定，避免违法解除劳动合同。
加强员工教育与预防：
- 通过加强员工教育和管理，提高员工的法律意识和纪律观念，预防类似事件的再次发生。
四、法律后果
- 若公司违法辞退员工，员工有权要求公司继续履行劳动合同，或要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金（经济补偿标准的二倍）。
总结：公司在处理员工打架事件时，应综合考虑打架行为的性质、后果以及公司规章制度等因素，以确保处理决定的合法性和合理性。员工也应遵守公司规章制度，维护和谐的工作环境，避免因一时冲动而面临被辞退的风险。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。