债权转让中，通知债务人的义务由债权人（转让人）承担。以下是对这一问题的详细分析：

法律依据

根据《中华人民共和国民法典》第五百四十六条的规定：“债权人转让债权的，未通知债务人的，该转让对债务人不发生效力。”这一规定明确了债权人在债权转让中的通知义务，是解答此问题的核心法律依据。

通知义务的主体

债权人作为债权的原始权利人，在转让债权时，有义务将转让的事实通知债务人。这是确保债务人知晓债权变动情况、保障其合法权益的重要措施。通知可以由债权人本人进行，也可以由其委托的代理人进行，但无论哪种方式，都应确保通知的准确性和有效性。

通知的方式与效果

1. 通知方式：虽然法律并未明确规定通知的具体形式，但为了避免潜在的纠纷和误解，书面通知通常被视为更为稳妥的方式。书面通知能够提供明确的证据，证明债权人已经履行了通知义务，同时也方便债务人查阅和确认债权转让的具体细节。当然，在特定情况下，口头通知也可能被接受，但应确保债务人能够准确理解债权转让的事实。

2. 通知效果：一旦债权人履行了通知义务，债权转让即对债务人产生法律效力。债务人应向新的债权人（受让人）履行债务，而不再向原债权人履行。如果债务人因未收到通知或因通知迟延等原因导致其仍向原债权人履行的，不免除其对受让人的债务履行责任。

未履行通知义务的后果

如果债权人未履行通知义务，债权转让对债务人不发生效力。这意味着债务人仍然有权向原债权人履行债务，且该履行行为被视为有效。因此，债权人必须严格遵守通知义务，以确保债权转让的合法性和有效性。

特殊情况下的处理

在某些特殊情况下，如受让人直接起诉债务人并要求其向自己履行债务，人民法院在审理过程中可能会依法认定债权转让对债务人发生法律效力。但这并不意味着受让人可以代替债权人履行通知义务，而是基于法律的规定和诉讼程序的进行来确认债权转让的效力。此外，债权转让的通知一旦发出，就不能随意撤销，除非经过受让人的同意，并且符合民法典的其他相关规定。

实际操作建议

1. 确保通知的及时性：债权转让后，债权人应尽快通知债务人，以免影响债务人的利益。
2. 保留通知证据：无论采用何种通知方式，都应保留相应的证据，如邮寄凭证、电子邮件记录、短信记录等，以备不时之需。
3. 明确通知内容：通知内容应清晰、准确地传达债权转让的事实、内容以及新债权人的相关信息。

综上所述，债权转让中通知债务人的义务由债权人承担。债权人在进行债权转让时，必须严格遵守相关法律法规的规定，确保通知的合法性、有效性和及时性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。