结论是：当大货车全责但只有交强险且赔偿金额不足时，司机确实可能需要承担额外的赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：

一、交强险的赔偿范围与限额

交强险，即机动车交通事故责任强制保险，是我国法律强制要求机动车所有人或管理人购买的保险。其赔偿范围主要包括被保险机动车在道路交通事故中有责任的赔偿限额，具体为：死亡伤残赔偿限额18万元，医疗费用赔偿限额1.8万元，财产损失赔偿限额0.2万元。若事故造成的损失超过这些限额，交强险将不再承担赔偿责任。

二、司机可能承担的赔偿责任

1. 超出交强险赔偿限额的部分：

   • 当事故造成的损失超过交强险的赔偿限额时，超出部分应由责任方（在此案例中为大货车司机）承担。这意味着，如果事故导致的医疗费用、财产损失等总和超过了交强险的赔偿上限，司机需要自行承担超出部分的赔偿。

2. 交强险不赔的项目：

   • 交强险的赔偿范围有一定的限制，例如，因交通事故产生的仲裁或者诉讼费用以及其他相关费用，交强险通常不予赔偿。若这些费用由事故引发，且属于责任方的过错导致，那么责任方（司机）可能需要承担这些费用。

三、司机承担赔偿责任的法律依据

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在大货车全责的交通事故中，司机作为责任方，因其过错导致他人损害，依法应承担赔偿责任。这包括交强险赔偿不足的部分以及交强险不赔的项目。

四、实际案例与建议

• 实际案例：假设一起交通事故中，大货车全责，且造成的医疗费用、财产损失等总和为30万元。而交强险的赔偿限额为20万元（包括死亡伤残、医疗费用、财产损失等所有项目，此处为简化说明），那么超出交强险赔偿限额的10万元，应由大货车司机承担。

• 建议：

  1. 及时报案与定损：事故发生后，应及时报案并联系保险公司进行定损，以便准确了解损失情况。
  2. 保留证据：保留好与事故相关的所有证据，如医疗记录、费用发票、事故现场照片等，以便在需要时提供证明。
  3. 协商与诉讼：若与司机或保险公司就赔偿问题无法达成一致，可以考虑通过协商或诉讼途径解决纠纷。

五、特殊情况考虑

• 司机经济能力：若司机经济能力有限，无法一次性支付全部赔偿费用，可以与受害方协商分期支付或寻求其他解决方案。
• 保险公司追偿：在某些情况下，保险公司可能在赔偿后向责任方（司机）追偿，特别是当司机存在故意或重大过失时。

综上所述，当大货车全责但只有交强险且赔偿金额不足时，司机确实可能需要承担额外的赔偿责任。这包括超出交强险赔偿限额的部分以及交强险不赔的项目。因此，建议司机在驾驶过程中务必遵守交通规则，确保行车安全，以减少潜在的法律风险和经济损失。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。