行政机关委托律师出庭的法律依据主要来源于我国的《中华人民共和国律师法》以及相关的行政诉讼法律规定。以下是对此问题的详细解答：
一、《中华人民共和国律师法》的相关规定
《中华人民共和国律师法》明确规定了律师的执业范围和权利，其中包括：
接受委托担任代理人：根据《律师法》的相关规定，律师可以接受民事案件、行政案件当事人的委托，担任代理人参加诉讼。这意味着，行政机关作为行政案件的当事人，有权委托律师作为其代理人出庭应诉。
提供法律服务：律师的职责包括为委托人提供法律咨询、代理诉讼等法律服务。行政机关在面临行政诉讼时，可以委托律师提供专业的法律服务，以维护其合法权益。
二、行政诉讼法律的相关规定
在行政诉讼中，虽然直接规定行政机关委托律师出庭的条款可能并不明确，但可以从以下方面理解其法律依据：
行政机关的诉讼权利：行政机关作为行政诉讼的被告，享有依法进行诉讼、反驳对方诉讼请求、提供证据等权利。委托律师出庭是行政机关行使这些权利的一种方式。
诉讼代理制度：我国诉讼制度中包含了诉讼代理制度，允许当事人委托他人（包括律师）代为进行诉讼活动。行政机关作为当事人，自然可以适用这一制度。
三、具体实践中的操作
在实际操作中，行政机关委托律师出庭通常遵循以下程序：
签订委托合同：行政机关与律师事务所签订委托合同，明确双方的权利和义务。
出具授权委托书：行政机关向律师事务所出具授权委托书，授权律师代为进行诉讼活动。
律师出庭应诉：律师根据委托合同和授权委托书的要求，代表行政机关出庭应诉，行使诉讼权利，履行诉讼义务。
四、相关司法解释和规定
虽然直接的司法解释可能并未明确提及行政机关委托律师出庭的具体条款，但最高人民法院发布的关于行政诉讼的相关规定和司法解释，如《最高人民法院关于行政机关负责人出庭应诉若干问题的规定》，间接支持了行政机关在诉讼中委托专业法律人士（包括律师）出庭的做法。这些规定强调了行政机关在诉讼中的责任和义务，同时也隐含了行政机关可以委托专业人士协助其履行这些责任和义务。
综上所述，行政机关委托律师出庭的法律依据主要来源于《中华人民共和国律师法》中关于律师执业范围和权利的规定，以及我国诉讼制度中的诉讼代理制度。在实际操作中，行政机关通过签订委托合同和出具授权委托书的方式委托律师出庭应诉。