针对您提出的关于跨国同性伴侣孩子出生后国籍和亲子关系认定的问题，我会结合中国的相关法律法规进行详细解答。
国籍认定
首先，关于孩子的国籍认定，主要依据的是《中华人民共和国国籍法》。根据该法：
如果孩子出生在中国：
- 无论父母双方或一方是否为中国公民，只要孩子出生在中国，且父母中至少有一方为中国公民，孩子即具有中国国籍。这一点与父母的性取向或婚姻状况无关。
如果孩子出生在外国：
- 父母双方或一方为中国公民，孩子出生在外国时，原则上孩子具有中国国籍。
- 但有一个例外情况：如果父母双方或一方为中国公民并定居在外国，且孩子出生时即具有外国国籍，那么孩子不具有中国国籍。
关于双重国籍：
- 中国不承认中国公民具有双重国籍。因此，如果孩子通过其他方式获得了外国国籍，那么在中国法律上，他将不再被视为中国公民（除非符合特定条件并申请恢复中国国籍）。
亲子关系认定
关于亲子关系的认定，这通常涉及生物学上的亲子关系和法律上的亲子关系：
生物学亲子关系：
- 可以通过DNA检测等科学手段来确定孩子与父母之间的生物学联系。
法律亲子关系：
- 在中国，法律上的亲子关系通常基于出生证明、收养证明等法律文件来认定。
- 对于跨国同性伴侣的情况，如果其中一方或双方是中国公民，并且孩子在中国出生，那么他们可以通过法律途径（如办理出生证明、亲子关系公证等）来确立法律上的亲子关系。
- 如果孩子出生在外国，并且父母希望在中国确立亲子关系，可能需要遵循该国的法律程序，并在中国进行相关的法律认证或公证。
特殊情况与建议
- 同性伴侣的特殊情况：由于同性婚姻在中国尚未得到法律认可，因此同性伴侣在确立亲子关系时可能会面临一些额外的法律挑战。在这种情况下，建议咨询专业的法律人士，以了解具体的法律程序和可能的解决方案。
- 国际法律冲突：如果孩子的国籍或亲子关系涉及多个国家，可能会存在国际法律冲突的问题。在这种情况下，建议寻求国际法律专家的帮助，以确保孩子的权益得到妥善保护。
综上所述，跨国同性伴侣孩子出生后的国籍和亲子关系认定是一个复杂的问题，需要综合考虑多个因素。如果您或您的伴侣面临这样的情况，建议咨询专业的法律人士以获取更具体和个性化的建议。