当行政单位做出裁定却不执行时，当事人可以通过以下合法途径来维护自身权益：

1. 申请强制执行：

   • 根据《行政诉讼法》的相关规定，若行政单位拒绝履行其作出的裁定，当事人有权向第一审人民法院提出强制执行的申请。申请时需提交强制执行申请书及相关法律文书，以正式启动强制执行程序。法院在受理申请后，会向行政单位发出执行通知，要求其限期履行裁定义务。若行政单位仍不履行，法院将依法采取查封财产、冻结银行账户等强制措施。

2. 采取多种执行措施：

   • 法院在执行过程中，有权查询行政单位的银行存款，并根据执行数额直接冻结或划拨资金以清偿债务。
   • 对于行政单位的非货币财产，如办公设备等，法院可依法查封、扣押，并通过拍卖或变卖方式变现以支付裁定款项。

3. 对相关负责人采取措施：

   • 若行政单位拒不执行且情节严重，法院可对主要负责人或直接责任人处以罚款或拘留（拘留期限通常不超过十五日）。
   • 根据《中华人民共和国刑法》第三百一十三条的规定，对于拒不执行判决、裁定且情节严重的行为，将依法追究相关责任人的刑事责任，包括有期徒刑、拘役或罚金等。

4. 向上级行政机关反映：

   • 当事人可向行政单位的上级行政机关反映情况，要求其责令下级行政单位切实履行裁定。上级机关通常会进行督促检查，以维护法律权威和当事人权益。

5. 借助媒体监督：

   • 通过合法媒体渠道公开行政单位不执行裁定的情况，可以引起社会关注和舆论压力，促使行政单位重视并积极履行裁定义务。在操作时需确保信息真实准确，遵守相关法律法规和道德规范。

6. 寻求法律援助：

   • 在整个过程中，如遇法律问题或困难，当事人可寻求专业律师的法律援助，以获得案情分析、策略制定和法律支持。

法律背景与建议：

• 行政单位不执行其作出的裁定，不仅损害了当事人的合法权益，也破坏了法治社会的公信力。当事人应积极通过上述合法途径来维护自身权益。
• 在采取行动之前，建议当事人先了解清楚裁定的具体内容，包括履行期限、履行方式及金额等细节，以便后续有针对性地采取措施。
• 同时，保持理性与冷静至关重要，避免采取过激行为或发表不当言论，以免引发不必要的法律风险。

可能的法律后果：

• 若行政单位拒不执行裁定且情节严重，相关责任人可能面临罚款、拘留甚至刑事处罚等法律后果。
• 此外，行政单位还可能因拒不执行裁定而受到上级行政机关的处分或社会舆论的谴责。

总结： 面对行政单位做出裁定却不执行的情况，当事人应坚决捍卫法律的权威与尊严，通过合法且有效的途径寻求解决方案。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。