打架斗殴刑事案件的抓捕令由公安机关批准并执行。

一. 抓捕令的批准与执行

1. 批准部门：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在侦查过程中，若发现有必要对犯罪嫌疑人进行逮捕，会依法制作逮捕决定书，并报请县级以上公安机关负责人批准。因此，打架斗殴刑事案件的抓捕令是由公安机关批准。
2. 执行部门：批准后，由公安机关的侦查人员负责执行逮捕，即将犯罪嫌疑人抓捕归案。

二. 相关法律依据

• 《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十条规定：“逮捕犯罪嫌疑人、被告人，必须经过人民检察院批准或者人民法院决定，由公安机关执行。”但在侦查阶段，公安机关有权依法对犯罪嫌疑人进行逮捕，并报请县级以上公安机关负责人批准。

三. 实例说明

• 例如，在一起打架斗殴案件中，若公安机关经过调查认为某人有重大作案嫌疑，且符合逮捕条件，公安机关会依法制作逮捕决定书，并报请县级以上公安机关负责人批准。批准后，公安机关的侦查人员会执行逮捕，将犯罪嫌疑人抓捕归案。

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