在租赁期间，若承租人未支付租金，出租人确实可以请求承租人支付租金，并且在合同有约定的情况下，还可以请求支付违约金。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据
《中华人民共和国民法典》第五百七十七条：
- 当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。
- 这意味着，如果承租人未按照合同约定支付租金，就构成了违约，出租人有权要求其继续履行支付租金的义务，并可以要求其承担违约责任。
《中华人民共和国民法典》第五百八十五条：
- 当事人可以约定一方违约时应当根据违约情况向对方支付一定数额的违约金，也可以约定因违约产生的损失赔偿额的计算方法。
- 如果房屋租赁合同中明确约定了逾期支付租金需要承担违约金以及违约金的具体计算方式，那么出租人有权按照合同约定要求承租人支付违约金。
《中华人民共和国民法典》第七百二十一条和第七百二十二条：
- 承租人应当按照约定的期限支付租金。对支付租金的期限没有约定或者约定不明确，依据本法第五百一十条的规定仍不能确定，租赁期限不满一年的，应当在租赁期限届满时支付；租赁期限一年以上的，应当在每届满一年时支付，剩余期限不满一年的，应当在租赁期限届满时支付。
- 承租人无正当理由未支付或者迟延支付租金的，出租人可以请求承租人在合理期限内支付；承租人逾期不支付的，出租人可以解除合同。
- 这两条条款明确了承租人支付租金的义务，以及出租人在承租人未支付租金时的权利。
二、处理方式
有约定的情况：
- 如果房屋租赁合同中明确约定了逾期支付租金需要承担违约金以及违约金的具体计算方式，出租人应当首先按照合同约定向承租人发出书面通知，明确指出其逾期支付租金的违约行为，并要求对方支付租金和违约金。
- 如果承租人拒绝支付，出租人可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益，如向人民法院提起诉讼或者根据合同约定申请仲裁。
无约定的情况：
- 即使合同中没有关于逾期支付租金违约金的约定，但如果承租人的逾期行为给出租人造成了实际损失（如资金占用损失、催收成本等），出租人可以依据《民法典》的相关规定，要求承租人赔偿因逾期造成的合理损失。
- 此时，出租人需要提供充分的证据证明实际损失的存在和金额，如银行流水、催收记录等。
三、注意事项
违约金数额合理性：
- 约定的违约金数额应当合理，既不过低也不过高。如果约定的违约金低于实际损失，出租人可以请求法院或仲裁机构予以增加；反之，如果约定的违约金过高，承租人也可以请求法院或仲裁机构予以适当减少。
诉讼时效：
- 出租人在要求支付租金、违约金或赔偿损失时，应注意诉讼时效的问题。一般来说，房屋租赁合同纠纷的诉讼时效为三年，自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。因此，出租人应及时行使自己的权利，避免因超过诉讼时效而丧失法律保护。
法律途径：
- 若承租人拒绝支付租金、违约金或赔偿损失，且协商不成时，出租人可以考虑通过向人民法院提起诉讼或者根据合同约定申请仲裁等法律途径来维护自己的合法权益。
总结来说，在租赁期间，若承租人未支付租金，出租人不仅可以请求承租人支付租金，还可以在合同有约定的情况下请求支付违约金。如果合同无约定但造成了实际损失，出租人也可以要求承租人赔偿相应损失。如果您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。