在犯罪嫌疑人被羁押后，若存在以下情形，检察机关应当提请批准逮捕：
有证据证明有犯罪事实：
- 这是提请批准逮捕的首要条件。检察机关需要掌握足够的证据，证明犯罪嫌疑人确实实施了犯罪行为。这些证据可以是物证、书证、证人证言、被害人陈述、犯罪嫌疑人供述和辩解、鉴定意见、勘验、检查、辨认、侦查实验等笔录，以及视听资料、电子数据等。只有当这些证据形成完整的证据链，足以证明犯罪嫌疑人有犯罪事实时，检察机关才会考虑提请批准逮捕。
可能判处徒刑以上刑罚：
- 除了有证据证明有犯罪事实外，还需要考虑犯罪嫌疑人可能面临的刑罚。如果根据案件事实和法律规定，犯罪嫌疑人可能被判处徒刑以上刑罚（包括有期徒刑、无期徒刑等），那么检察机关就有必要提请批准逮捕，以确保犯罪嫌疑人在审判前不会逃避法律制裁或继续危害社会。
采取取保候审不足以防止发生社会危险性：
- 在某些情况下，即使犯罪嫌疑人可能被判处徒刑以上刑罚，但如果采取取保候审等非羁押措施足以防止其发生社会危险性（如逃跑、毁灭证据、再次犯罪等），那么检察机关可能不会提请批准逮捕。然而，如果取保候审等措施无法有效防止社会危险性的发生，那么检察机关就应当提请批准逮捕，以确保社会的安全和稳定。
具体来说，以下是一些可能触发提请批准逮捕的具体情形：
- 犯罪嫌疑人可能实施新的犯罪：如果犯罪嫌疑人有前科或表现出继续犯罪的倾向，且取保候审无法有效防止其再次犯罪，那么检察机关应当提请批准逮捕。
- 犯罪嫌疑人可能毁灭、伪造证据，干扰证人作证或者串供：在侦查过程中，如果犯罪嫌疑人有可能通过毁灭、伪造证据或干扰证人作证等方式来逃避法律制裁，且取保候审无法有效防止这些行为的发生，那么检察机关也应当提请批准逮捕。
- 犯罪嫌疑人可能对被害人、举报人、控告人实施打击报复：如果犯罪嫌疑人有对被害人、举报人、控告人实施打击报复的倾向或行为，且取保候审无法有效保护这些人的安全，那么检察机关同样应当提请批准逮捕。
- 犯罪嫌疑人企图自杀或者逃跑：如果犯罪嫌疑人有自杀或逃跑的倾向或行为，且取保候审无法有效防止这些情况的发生，那么检察机关也应当及时提请批准逮捕，以确保犯罪嫌疑人的安全并防止其逃避法律制裁。
在提请批准逮捕的过程中，检察机关会严格遵循法律程序，确保犯罪嫌疑人的合法权益得到保障。同时，犯罪嫌疑人及其辩护人也有权对提请批准逮捕的决定提出异议或申请复议。
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