结论前置：房东是否需要在中介与租客签订的租赁合同上签字，需分情况讨论，具体如下：

1. 若房东授权中介代为签署租赁合同
   根据《民法典》第162条，代理人在代理权限内以被代理人名义实施的民事法律行为，对被代理人发生效力。若房东通过书面授权委托书（明确授权范围、期限等），允许中介代签合同，则合同直接约束房东与租客，房东无需签字，但需确保授权委托书真实有效且租客知晓代理关系。例如，房东长期在外地，通过公证委托中介全权处理出租事宜，此时中介签字即代表房东。

2. 若房东未授权中介，但事后追认合同效力
   若中介未经授权擅自与租客签约，根据《民法典》第171条，房东可在知道或应当知道代理行为后以书面或行为方式追认（如收取租金、实际履行合同义务），此时合同自追认时生效，房东无需补签，但需承担合同权利义务。例如，房东虽未签字，但按月收取租客支付的租金，视为对合同效力的认可。

3. 若房东未授权且未追认，合同仅约束中介与租客
   若中介无权代理且房东明确拒绝追认（如书面声明不认可合同），根据《民法典》第171条，合同对房东不发生效力，房东无需签字，但租客可要求中介承担违约责任或赔偿损失。例如，中介伪造房东签字签约，房东发现后立即报警并声明合同无效，此时租客只能向中介索赔。

4. 特殊情形：房东需共同签字的情况

   • 共有产权房屋：若房屋为多人共有（如夫妻共同财产），根据《民法典》第301条，处分共有不动产需全体共有人同意。此时中介与租客签约时，所有共有人均需签字，否则合同可能因无权处分被认定无效。
     
   • 中介作为“居间方”而非“代理方”：若中介仅提供信息撮合服务，合同主体为房东与租客，中介仅作为见证方或居间人，则房东必须签字，中介无需签字或仅需在居间条款处盖章。

实务建议：

• 对房东：若委托中介出租，务必签订书面授权委托书，明确代理权限（如是否允许代签合同、代收租金等），避免中介越权操作；若未授权，发现中介擅自签约后需及时表态（追认或拒绝），防止权益受损。
  
• 对租客：签约前要求中介出示房东授权文件（如委托书、房产证复印件等），或直接联系房东确认出租意愿；若房东未签字，需留存中介代理证据（如微信聊天记录、录音等），以备纠纷时主张权利。
  

如有具体合同条款或场景需进一步分析，可直接向我咨询。