协商解除劳动协议的生效日期，以双方签字或盖章的日期中较晚者为准。具体到您的情况，劳动者于10月10日签字，而公司于10月19日签字，因此，该劳动协议的生效日期应为10月19日。

法律背景与依据

在劳动合同或劳动协议的解除过程中，双方达成一致并签署协议是关键步骤。根据一般的法律原则，合同或协议的生效时间通常以双方最后签字或盖章的日期为准。这一原则确保了合同或协议是在双方都同意并确认其内容后才开始生效的，从而保护了双方的权益。

可能的法律后果与建议

1. 生效日期的确定：

   • 如前所述，生效日期以双方签字或盖章的日期中较晚者为准。这意味着，在您的案例中，即使劳动者已经先签字，但协议并未立即生效，而是等到公司签字后才生效。

2. 协议内容的确认：

   • 在签署任何劳动协议之前，双方都应仔细阅读并理解协议的内容。这包括解除劳动关系的条件、经济补偿的金额和支付方式、保密义务等。确保协议内容符合双方的意愿和法律规定。

3. 保留证据：

   • 双方都应保留好签署的协议原件或复印件，以及任何与协议签署相关的沟通记录（如邮件、短信等）。这些证据在将来可能用于证明协议的签署时间和内容，从而维护双方的权益。

4. 法律咨询：

   • 如果在签署或执行劳动协议过程中遇到任何疑问或问题，建议及时咨询专业律师。律师可以提供具体的法律建议和指导，帮助您更好地理解和执行协议。

特殊情况考虑

虽然一般情况下以双方最后签字或盖章的日期为准，但也有可能存在特殊情况。例如，如果协议中明确规定了生效日期（如“本协议自双方签署之日起生效，但最迟不得晚于XXXX年XX月XX日”），则应按照协议中的规定来确定生效日期。然而，在您的案例中，并未提及此类特殊规定，因此应适用一般原则。

如有任何关于劳动纠纷的疑问或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况提供全面、专业的法律服务。