决定立案后，司法机关通常会以正式文书的形式通知相关人员，但一般不会专门发“律师函”，而是根据案件类型和程序，发放立案决定书、立案告知书或案件受理通知书等。以下从不同案件类型为您详细分析：

一、刑事案件

1. 公安机关立案：

   • 公安机关接受案件后，经审查认为有犯罪事实需要追究刑事责任，且属于自己管辖的，会制作立案决定书。
   • 立案决定书副本会送达报案人、控告人、举报人等，作为立案的正式通知。这份文书具有明确案件状态、告知诉讼权利与义务的作用。
   • 如果决定不予立案，公安机关也会将不立案的原因通知控告人，并给出书面通知，如“不予立案通知书”。

2. 人民检察院立案：

   • 人民检察院对于直接受理的案件，经审查认为有犯罪事实需要追究刑事责任的，会制作立案报告书，经检察长批准后予以立案。
   • 立案后，检察院会通知相关人员，确保他们知晓案件的立案情况。

二、民事案件

• 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，虽然法律并未直接规定法院立案后必须下发专门的“立案通知书”，但在实际操作中，法院在受理案件并审查符合立案标准后，会通知当事人。
• 通知方式一般有两种：一是通过电话通知当事人案件已经立案；二是通过邮寄方式，将起诉状副本发送被告，同时可能附带案件受理通知书等文件，明确告知案件已受理立案，并送达相关的诉讼文书，如举证通知书等。

三、其他注意事项

1. 通知的及时性：

   • 无论是刑事案件还是民事案件，司法机关都会在决定立案后，尽快通知相关人员，以确保他们及时知晓案件进展。
   • 例如，在刑事案件中，公安机关通常会在立案后的一定时间内（如3天、7天或最长30天，视案件复杂程度而定）将立案决定书送达相关人员。

2. 通知的内容：

   • 立案通知通常会包含案件的基本信息（如案号、案件类型、立案时间等）、当事人的权利和义务、以及后续的诉讼程序等信息。
   • 这些信息对于当事人了解案件进展、准备诉讼材料、参与诉讼活动等都具有重要意义。

3. 如果未收到通知：

   • 如果您作为报案人、控告人或当事人，在案件立案后未收到任何通知，可以主动联系司法机关（如公安机关、法院等）查询案件进展。
   • 司法机关有义务提供案件的立案信息，并解答您的疑问。

建议：如果您在案件立案后未收到任何正式通知，或者对通知的内容有疑问，可以及时联系我这样的专业律师进行咨询。我将根据您的具体情况，为您提供详细的法律建议和帮助。