结论前置：

1. 若儿子为被拆迁房屋的合法继承人且拆迁补偿协议中明确其居住权益，则儿子可以继续居住。
2. 若儿子非合法继承人或拆迁补偿协议未明确居住权益，则需根据具体情况判断，可能无法继续居住。

详细分析：

情况一：儿子为被拆迁房屋的合法继承人且拆迁补偿协议中明确其居住权益

• 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》继承编的相关规定，被继承人死亡后，其遗产由合法继承人继承。若儿子是被拆迁房屋的合法继承人，且拆迁补偿协议中明确规定了其居住权益，那么儿子在父母双亡后，有权继续居住在该房屋内。
• 实际操作：在这种情况下，儿子应持有拆迁补偿协议、继承权证明等相关文件，以证明其居住权益的合法性。若遇到任何阻碍或纠纷，儿子可以依法维护自己的权益。

情况二：儿子非合法继承人或拆迁补偿协议未明确居住权益

• 法律依据：若儿子不是被拆迁房屋的合法继承人，或者拆迁补偿协议中未明确其居住权益，那么儿子在父母双亡后，可能无法继续居住在该房屋内。此时，房屋的居住权可能归属于其他合法继承人或根据拆迁补偿协议的规定进行处理。
• 实际操作：在这种情况下，儿子应首先了解拆迁补偿协议的具体内容，以及自己是否属于合法继承人。若不属于合法继承人或协议未明确居住权益，儿子应与相关方进行协商，寻求合理的解决方案。若协商无果，儿子可以依法向人民法院提起诉讼，请求确认自己的居住权益或寻求其他法律救济。

额外建议：

• 保留证据：无论儿子是否属于合法继承人或协议是否明确居住权益，都应妥善保留拆迁补偿协议、继承权证明等相关文件，以备不时之需。
• 及时咨询：若遇到任何法律问题或纠纷，儿子应及时向专业律师咨询，以便得到及时、有效的法律帮助。

总结：儿子在父母双亡后能否继续居住在拆迁补偿房屋内，取决于其是否为被拆迁房屋的合法继承人以及拆迁补偿协议中是否明确其居住权益。若满足相关条件，则儿子有权继续居住；若不满足，则需根据具体情况判断并寻求合理的解决方案。如有任何法律问题，欢迎直接向我咨询。