面对全责方醉驾而交警部门一直拖着不处理的情况，您可以采取以下一系列措施来推动案件的处理进程，确保法律程序得到及时、公正的执行。
一、主动沟通与了解进展
联系交警部门：
- 首先，您应主动联系负责该案件的交警部门，通过前往办公地点或拨打办公电话的方式，与具体承办案件的民警进行沟通。
- 询问案件为何迟迟未处理，了解目前案件所处的阶段以及存在的阻碍因素。
明确处理时间：
- 在沟通过程中，向交警部门明确表达希望案件得到及时处理的诉求。
- 询问预计完成处理的具体时间节点，并要求对方给出一个合理的期限，同时做好相应的记录以备后续跟进。
补充材料：
- 确保您已按要求提交了所有与醉驾案件相关的材料，如检验报告、笔录等。
- 如果发现存在材料缺失或程序未完成的情况，应及时补充或推进，以避免因材料不全导致处理停滞。
二、向上级部门投诉与反映
内部监督渠道：
- 若与当地交警部门沟通后仍未得到有效解决，您可以向其上级公安机关交通管理部门反映情况。
- 通过书面形式（如撰写投诉信）详细说明醉驾事件的经过、与当地交警沟通的情况以及对处理拖延的不满，寄送到上级交警部门的信访办公室。
- 或者，拨打上级交警部门的监督举报电话进行投诉。
政务服务热线：
- 拨打当地的政务服务便民热线（如12345），这是政府设立的为群众解决各类问题的综合服务平台。
- 按照语音提示或转接人工服务后，如实反映醉驾案件未得到及时处理的情况，并提供详细信息。
- 热线工作人员会将问题记录并转交给相关责任部门处理，后续会有反馈。
三、借助媒体监督与公众关注
- 如果上述方式未能奏效，您可以考虑向当地有影响力的媒体栏目组或报社反映情况。
- 通过媒体的新闻线索征集渠道（如新闻热线电话、官方网站或微信公众号的报料入口等），详细描述醉驾事件以及交警部门拖延处理的情况，并提供相关证据（如有）。
- 媒体的关注往往能够促使交警部门重视并尽快处理案件。但在此过程中，务必确保所提供信息的真实性和准确性。
四、采取法律途径维护权益
行政复议：
- 如果认为交警队的不作为影响了您的合法权益，您可以准备相关证据（如醉驾检测报告、询问笔录等）向当地政府法制部门或上级交警部门提交复议申请。
- 要求对交警队的行为进行审查和纠正，确保案件得到依法处理。
法律诉讼：
- 若以上方式均未奏效，作为最后的手段，您可以通过法律诉讼途径解决问题。
- 聘请专业律师，准备充分的证据材料，向法院提起行政诉讼。
- 要求法院判令交警队依法处理醉驾案件，并对因交警队不作为造成的损失进行赔偿。
五、明确法律责任与后果
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，醉酒驾驶机动车将受到吊销机动车驾驶证、依法追究刑事责任等处罚。
- 即使案件暂时未得到处理，醉驾者也不能抱有侥幸心理，认为可以逃避法律责任。法律责任是不可避免的，拖延处理只会加重后果。
总结与建议
在处理此类问题时，请保持冷静和理性，通过合法、合理的途径来解决问题，避免采取过激行为。同时，建议您咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。通过上述措施的综合运用，通常能够有效推动醉驾案件的处理进程，维护您的合法权益。