要求政府履行职责的申请期限，需根据具体的法律法规以及申请的性质来综合判断。以下是对此问题的详细解析：
一、明确法定期限的情况
行政许可领域
- 根据《中华人民共和国行政许可法》的相关规定，若申请材料齐全、符合法定形式，且行政机关能够当场作出决定的，应即时给出书面的行政许可决定。
- 对于非当场可决定的申请，行政机关应在受理之日起二十日内作出决定。若二十日内无法完成，经本行政机关负责人批准，可延长十日，并需告知申请人延期的理由。但需注意，若有其他法律、法规的特殊规定，则应遵循其特定要求。
- 若行政许可采取统一办理或者联合办理、集中办理的，办理的时间不得超过四十五日；四十五日内不能办结的，经本级人民政府负责人批准，可以延长十五日，并应当将延长期限的理由告知申请人。
行政复议领域
- 依据《中华人民共和国行政复议法》，行政复议机关应在受理申请之日起六十日内作出决定；复杂情况可适当延长，但最多不超过三十日。
行政处罚领域
- 按照《中华人民共和国行政处罚法》，行政机关应自立案之日起九十日内作出行政处罚决定；除非法律、法规、规章另有规定。
行政诉讼领域
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十七条，公民、法人或者其他组织申请行政机关履行保护其人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关在接到申请之日起两个月内不履行的，公民、法人或者其他组织可以向人民法院提起诉讼。法律、法规对行政机关履行职责的期限另有规定的，从其规定。
- 在紧急情况下请求行政机关履行保护其人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关不履行的，提起诉讼不受前款规定期限的限制。
二、没有明确法定期限的情况
在没有明确法定期限的情况下，行政机关应当在“合理期限”内履行法定职责。这一合理期限需根据具体案件的性质、难易程度、行政机关的工作流程以及对当事人权益的影响等多种因素综合判断。特别是在涉及公民生命健康安全、公共安全等紧急情况时，行政机关应迅速作出处理决定。
三、行政机关未能按期履行职责的救济措施
若行政机关未能在法定或合理期限内履行职责，申请人有权采取一系列救济措施。包括但不限于向上一级行政机关或有关监督机关投诉举报，要求督促下级行政机关履行职责；或在某些情况下，通过行政复议或行政诉讼等法律途径来维护自身合法权益。
建议：在遇到要求政府履行职责的申请期限问题时，应首先查阅相关法律法规，了解具体的期限规定。若法律法规未明确规定，则可根据申请事项的复杂程度、工作效率及公共利益等因素，合理判断政府应在何时内履行职责。若政府未能按期履行职责，可及时采取救济措施，维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。