结论前置：一个月没签合同，劳动者在特定情形下可以直接离职，并有权要求用人单位支付双倍工资及经济补偿；在非特定情形下，应提前通知用人单位并保留好相关证据。
详细分析
一、可以直接离职的情形
根据《劳动合同法》第三十八条的规定，若用人单位存在以下情形之一，劳动者可以解除劳动合同，且无需提前通知用人单位：
未及时足额支付劳动报酬：如用人单位未按约定时间支付工资，且无合理理由，劳动者有权直接离职。例如，若每月15日为工资发放日，但至20日仍未发放，劳动者即可直接解除劳动关系。
未依法为劳动者缴纳社会保险费：若用人单位超过一个月未与劳动者签订劳动合同，且未为其缴纳社保，劳动者同样可以直接离职。
其他法定过错情形：包括未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件、用人单位的规章制度违反法律、法规的规定损害劳动者权益、因《劳动合同法》第二十六条第一款规定的情形致使劳动合同无效等。
在上述情形下，劳动者不仅可以直接离职，还可以依据《劳动合同法》的相关规定，要求用人单位支付相应的经济补偿。经济补偿的标准通常为按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
二、需要提前通知用人单位的离职情形
若用人单位不存在上述《劳动合同法》第三十八条规定的情形，仅因超过一个月未与劳动者签订书面劳动合同，劳动者欲解除劳动合同的，应当提前三十日以书面形式通知用人单位（试用期内则提前三日通知）。然而，这并不影响劳动者依据《劳动合同法》第八十二条的规定，要求用人单位从第二个月起每月支付二倍的工资。
例如，小李入职一家公司45天，公司一直未与其签订劳动合同，但按时发放工资并依法缴纳社保。此时，小李若想离职，仍需提前三十日书面通知公司，并可要求公司支付自用工之日起满一个月的次日至离职日的双倍工资。
三、注意事项与建议
保留证据：无论哪种离职情形，劳动者都应妥善保留能证明劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工资发放记录、与用人单位的沟通记录等，以便在需要时维护自己的合法权益。
协商优先：尽管法律赋予了劳动者相应的权利，但在实际操作中，建议劳动者首先与用人单位进行协商，以和平方式解决纠纷，避免不必要的法律诉讼。
法律途径：若协商不成，劳动者可向劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请，以法律途径维护自己的合法权益。对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
总结与建议
一个月没签合同，劳动者是否可以直接离职取决于用人单位是否存在法定过错情形。若存在，劳动者可以直接离职并要求经济补偿；若不存在，劳动者应提前通知用人单位并保留好相关证据。在任何情况下，劳动者都应注重证据的收集，以便在必要时有效维护自己的合法权益。
如果您有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，请随时向我咨询。