在店内顾客端茶杯不小心碰到烫伤，责任的承担需根据具体情况来判断，以下分情况说明：
店铺未尽到安全保障义务
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条，经营场所、公共场所的经营者、管理者有义务保障顾客的人身安全。如果店铺内的茶杯摆放位置不合理，如放在顾客容易碰撞到的地方，或者茶杯温度过高且没有适当的警示标识，导致顾客不小心碰到而烫伤，那么店铺可能因未尽到安全保障义务而需要承担相应的责任。
- 责任范围：店铺可能需要承担顾客因烫伤而产生的医疗费用、误工费等合理支出。具体赔偿金额需根据实际损失和法律规定来确定。
顾客自身存在过失
- 如果顾客在端茶杯时没有注意周围环境，或者明知茶杯温度过高却仍然冒险去端，导致自己烫伤，那么顾客自身也可能存在一定的过失。
- 责任分担：在这种情况下，责任可能会根据双方的过失程度进行分担。如果顾客的过失较大，那么店铺的责任可能会相应减轻。
第三方行为导致
- 如果烫伤是由第三方（如其他顾客）的行为导致的，且店铺已经尽到了合理的安全保障义务，那么店铺可能不需要承担责任。
- 第三方责任：在这种情况下，责任应由第三方承担。如果第三方无法确定或无力赔偿，而店铺又未尽到安全保障义务，店铺可能需承担相应的补充责任。
法律建议：
- 对于顾客：在店内活动时，应注意观察周围环境，避免碰撞到危险物品。如果因店铺的原因导致受伤，应及时与店铺沟通并保留相关证据，以便后续维权。
- 对于店铺：应加强店内安全管理，确保茶杯等物品的摆放位置合理且安全。同时，应对员工进行安全培训，提高服务意识和安全防范能力。如果发生顾客烫伤等事故，应积极与顾客沟通并协商解决方案。
后续行动指南：
- 如果发生烫伤事故，双方应首先保持冷静，并尽快将受伤者送往医院进行治疗。
- 同时，双方应保留好相关证据，如现场照片、医疗记录等，以便后续维权或协商解决。
- 如果双方无法就责任承担达成一致意见，可以寻求法律援助或通过诉讼途径解决纠纷。
如有进一步的法律问题或需要具体的法律建议，可以直接向我咨询。