针对您提出的“债务人死亡，担保人是否可以就债务人的债权向法院申请代位执行”的问题，这实际上涉及到了代位权行使的复杂法律情境。以下是我为您提供的详细分析：
一、代位权行使的基本条件
首先，我们需要明确代位权行使的一般条件。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，债权人（在此情境下，若担保人承担了担保责任后，可视为新的债权人）可以向人民法院请求以自己的名义代位行使债务人对相对人的权利，但需满足以下条件：
债权合法、确定且已届清偿期：担保人对债务人的追偿权（在承担担保责任后）必须是合法的、确定的，并且已经到期。
债务人怠于行使其到期债权：债务人未积极履行其对相对人的到期债务，同时也没有通过诉讼或仲裁方式主张其享有的具有金钱给付内容的到期债权。
债务人怠于行使权利对债权人造成损害：由于债务人的不作为，导致担保人（作为新的债权人）的债权实现受到威胁或损害。
债务人的债权非专属于其自身：债务人的债权不能是专属于其自身的债权，如扶养费、抚养费、赡养费等。
二、债务人死亡后的特殊情况
当债务人死亡后，情况会变得更为复杂。此时，代位权的行使需要考虑以下因素：
存在遗产及继承人：债务人死亡后留有遗产，并且有继承人继承了这些遗产。这是代位权行使的物质基础。如果债务人没有遗产或遗产无人继承，那么代位权的行使就失去了实际意义。
债权债务关系的继承与变化：债务人死亡后，其遗产和债权债务关系通常由继承人继承。此时，担保人（作为新的债权人）并不能直接对债务人的继承人行使原本对债务人所享有的代位权，除非继承人明确表示愿意承担债务人的债务，并且该债务属于可代位行使的范畴。
三、担保人的特殊地位与权利
作为担保人，在承担担保责任后，您对债务人享有追偿权。然而，这种追偿权并不直接等同于代位权。要行使代位权，您需要证明上述所有条件都得到满足，特别是要证明债务人怠于行使其到期债权，并且这种怠于行使对您造成了损害。
四、法律建议与操作路径
咨询专业律师：由于涉及复杂的法律关系和证据收集，建议您咨询专业律师以获取准确的法律意见和帮助。
收集证据：在律师的指导下，收集能够证明债务人怠于行使其到期债权、对您造成损害以及债务人债权非专属于其自身的相关证据。
考虑其他法律途径：如果代位权行使的条件不满足或存在法律障碍，您可以考虑通过其他法律途径来维护自己的权益，如参与遗产分配、提起诉讼要求继承人承担债务等。
结论
综上所述，债务人死亡后，担保人（作为新的债权人）是否可以就债务人的债权向法院申请代位执行，取决于多种因素的综合考量。在实际操作中，建议您咨询专业律师以获取准确的法律意见和帮助，确保自身权益得到有效维护。