结论：是否需要承担责任，需结合具体情况判断，主要看您对对方摔倒是否存在过错。若您不存在过错，则无需承担责任；若存在过错，则可能需承担相应责任。以下从不同角度进行分析：
一、若您不存在过错
正常请求修剪：如果您只是正常地请求对方修剪影响您庄稼的树枝，且没有采取任何过激或不当的行为（如强行修剪、威胁等），而对方在自行修剪过程中不慎摔倒，那么您通常不需要承担责任。因为这种情况下，对方的摔倒是由于其自身行为导致的，与您的请求无直接因果关系。
无过错原则：在侵权责任法中，一般遵循“无过错即无责任”的原则。即，如果行为人没有过错，就不需要承担侵权责任。因此，在您不存在过错的情况下，无需对对方的摔倒承担责任。
二、若您存在过错
过激行为：如果您在请求对方修剪树枝时，采取了过激或不当的行为（如强行进入对方土地、推搡对方等），导致对方在惊慌或反抗中摔倒，那么您可能需要承担一定的责任。因为这种情况下，您的行为与对方的摔倒之间存在直接的因果关系。
未尽安全提示义务：如果您知道修剪树枝存在一定的危险性（如树枝可能断裂、地面可能湿滑等），但未向对方进行充分的安全提示，导致对方在修剪过程中摔倒，那么您也可能需要承担一定的责任。因为您作为请求方，有义务向对方提示可能存在的危险。
三、法律建议
收集证据：如果发生此类纠纷，建议您首先收集相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以证明您是否存在过错以及对方的摔倒与您的行为之间是否存在因果关系。
协商解决：在收集到足够证据后，您可以尝试与对方进行协商解决。如果双方能够达成一致意见，那么可以签订书面协议，明确各自的责任和义务。
法律途径：如果协商无果，您可以考虑通过法律途径解决纠纷。您可以向当地的人民法院提起诉讼，要求法院对纠纷进行裁决。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来支持您的主张。
后续思考：在处理此类纠纷时，建议您保持冷静和理性，避免采取过激或不当的行为。同时，您也可以咨询专业的法律人士（比如我），以获取更具体的法律建议和帮助。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。