在处理涉及两个当事人的行政处罚案件时，整个流程需要遵循一系列明确且严谨的法律程序，以确保每位当事人的权益都得到妥善保障，同时行政机关也能依法、公正地执行处罚。以下是对这一流程的详细阐述：
一、初步了解与立案
案源发现与初步调查：
- 行政机关通过监督检查、投诉举报等多种途径发现涉嫌违法行为后，会进行初步调查，以确认是否符合立案条件。这一过程中，若涉及两个当事人，行政机关会分别对他们的行为进行初步评估。
立案审批：
- 若认为应当立案，行政机关将制作立案审批表，并报负责人审批，正式启动行政处罚程序。此时，立案审批表中会明确列出两个当事人的基本信息及涉嫌的违法行为。
二、全面调查取证
详细调查：
- 立案后，行政机关会指派两名以上执法人员全面、客观、公正地调查案件，分别收集涉及两个当事人的证据。这包括询问笔录、现场检查笔录、照片、音像资料等，确保证据充分、确凿。
证据种类与保全：
- 在证据可能灭失的情况下，经负责人批准，行政机关可先行登记保存涉及两个当事人的相关证据。
权利告知：
- 执法过程中，执法人员需向两位当事人分别出示执法证件，并告知他们各自享有的陈述权、申辩权和申请听证的权利。
三、核审与告知
案件核审：
- 法制审核部门会对涉及两个当事人的案件事实、证据、法律适用等进行严格审核，提出审核意见。确保对每位当事人的处罚都合法、公正。
事先告知与听取陈述申辩：
- 行政机关会分别书面告知两位当事人拟作出的行政处罚决定及其依据，并充分听取他们的陈述和申辩，记录在案。对于符合听证条件的案件，两位当事人均有权要求听证。
四、作出处罚决定
决定审批：
- 根据调查结果和核审意见，行政机关负责人会对涉及两个当事人的案件进行审批，决定是否给予行政处罚。重大或复杂案件应经过集体讨论，确保决策的科学性和公正性。
制作与送达决定书：
- 行政机关会分别制作详细的行政处罚决定书，明确记载两位当事人的基本情况、违法事实和证据、处罚依据和内容等，并依法送达给两位当事人。
五、执行与救济
执行处罚决定：
- 两位当事人应在规定期限内履行处罚决定。逾期不履行的，行政机关可采取多种强制措施，如加处罚款、划拨存款、拍卖查封扣押财物等，或申请人民法院强制执行。
申请行政复议或提起行政诉讼：
- 两位当事人对行政处罚不服的，均可在收到处罚决定书之日起一定期限内（一般为六个月内），向有管辖权的行政复议机关申请行政复议，或直接向人民法院提起行政诉讼。复议或诉讼期间，处罚决定一般不停止执行。
六、结案归档
执行完毕：
- 当两位当事人都履行完毕处罚决定或行政机关执行完毕后，案件即告结案。
立卷归档：
- 行政机关会整理并归档案件办理过程中的所有文书和材料，包括涉及两位当事人的所有证据和决定书等，以便日后查阅和管理。
重要注意事项：
- 两位当事人在整个过程中应积极配合行政机关的调查，同时充分利用自己的陈述权、申辩权和听证权利来维护自身合法权益。
- 行政机关必须严格遵守法定程序，确保对每位当事人的处罚都合法、正当，同时充分保障他们的合法权益。
- 时效限制是当事人行使救济权利的重要考量因素，两位当事人务必在规定期限内提出申请或提起诉讼。
综上所述，处理涉及两个当事人的行政处罚案件需要遵循一系列严谨的法律程序，既确保了行政机关的依法执法，也保障了每位当事人的合法权益。当事人在面对行政处罚时，应充分了解并遵循相关程序规定，以维护自身的合法权益。