若检察院不支持抗诉，但当事人有新的证据，可以通过以下途径来维护自身权益：

1. 向作出不支持抗诉决定的检察院申请复查：

   • 当事人可以向最初作出不支持抗诉决定的检察院提交复查申请书，详细说明理由，并附上新的证据材料。
   • 检察院在收到复查申请后，会重新审查案件，包括新的证据，以判断原不支持抗诉的决定是否合理。

2. 向上一级检察院申诉：

   • 如果当事人对下级检察院的决定不服，可以向上一级检察院提出申诉。
   • 上一级检察院会对案件进行全面审查，包括新的证据，以判断原不支持抗诉的决定是否恰当。
   • 如果上一级检察院认为原决定有误，可能会指令下级检察院重新审查，或者直接作出新的决定。

3. 依法向法院申请再审：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。
   • 如果新的证据足以推翻原判决、裁定，或者原判决、裁定适用法律确有错误，法院会依法启动再审程序。
   • 在再审过程中，法院会重新审理案件，并根据新的证据和法律规定作出判决。

在处理此类情况时，还需要注意以下几点：

• 及时整理和提交新证据：新的证据是推动案件重新审查的关键。当事人应及时整理和提交新证据，并说明其来源、证明内容等情况。
• 了解再审的申请条件和程序：申请再审需要符合法定条件，如应当在判决、裁定发生法律效力后的一定时间内提出（通常是六个月内，但具体期限可能因案件类型和地区而异）。当事人应了解并遵守这些条件和程序。
• 积极配合司法机关的工作：在复查、申诉或再审过程中，当事人应积极配合司法机关的工作，如提供必要的协助、回答询问等。这有助于推动案件的重新审查，并维护自身合法权益。

举例说明：

假设在一起合同纠纷案件中，检察院最初不支持抗诉。但后来，当事人发现了新的证据，如对方当事人在合同履行过程中的书面承认或第三方证人的证言等。这些新证据可能足以证明原判决存在错误。此时，当事人可以向作出不支持抗诉决定的检察院申请复查，或者向上一级检察院申诉。如果这些途径都没有成功，当事人还可以依法向法院申请再审，提交新证据并说明理由。法院在审查后，如果认为新证据确实足以推翻原判决，会依法启动再审程序并重新审理案件。

最后需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，因此在处理此类问题时，建议当事人根据自身情况选择合适的途径，并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如果你有任何法律问题，都可以直接向我咨询。