结论：在父亲重病住院期间，儿子申请出院放弃治疗导致次日死亡的情况下，儿子是否需要承担法律责任，取决于多个因素，包括但不限于父亲的病情、儿子的决策过程、是否存在医疗过错以及因果关系等。一般情况下，若儿子是基于合理的医疗建议和父亲的真实意愿做出决策，且没有其他违法行为，则通常不承担法律责任。但若存在过错或违法行为，则可能面临相应的法律责任。
一、法律责任分析
医疗决策的合法性：
- 在医疗过程中，患者或其法定代理人（如儿子）有权根据医疗建议和自身情况做出治疗决策，包括继续治疗或放弃治疗。
- 若儿子的决策是基于医生的合理建议，且父亲（或其法定代理人）在充分了解病情和后果后自愿做出，则该决策通常具有合法性。
是否存在医疗过错：
- 医疗过错是指医疗机构或医务人员在诊疗活动中违反法律、行政法规、规章以及其他有关诊疗规范的规定，造成患者人身损害的行为。
- 若医院在诊疗过程中存在过错，如未充分告知病情、未提供合理的治疗建议等，且该过错与患者的死亡存在因果关系，则医院可能需要承担相应的法律责任。
- 但在此案例中，若儿子的决策是独立于医院过错之外的，且医院已尽到合理的诊疗义务，则儿子的决策通常不构成医疗过错的一部分。
因果关系：
- 法律责任的承担通常要求存在因果关系，即行为人的行为与损害结果之间存在直接的因果联系。
- 在此案例中，若儿子的决策与父亲的死亡之间不存在直接的因果关系（如父亲病情已极度危重，放弃治疗只是加速了其自然死亡的过程），则儿子通常不承担因父亲死亡而产生的法律责任。
二、可能面临的法律后果
无过错情况：
- 若儿子的决策是基于合理的医疗建议和父亲的真实意愿，且没有其他违法行为，则他通常不承担法律责任。
- 在这种情况下，儿子的行为可能被视为对父亲意愿的尊重和对医疗资源的合理利用。
存在过错情况：
- 若儿子的决策存在过错（如未经充分了解病情和后果就擅自做出决策），且该过错与父亲的死亡存在因果关系，则他可能面临民事赔偿责任，甚至在某些极端情况下可能涉及刑事责任（但这种情况极为罕见，且需要严格的证据支持）。
- 然而，在大多数情况下，儿子的决策不太可能直接导致父亲的死亡，除非存在极端的疏忽或故意行为。
三、建议与注意事项
充分沟通：
- 在做出任何医疗决策之前，儿子应与医生进行充分的沟通，了解父亲的病情、治疗选项以及可能的后果。
- 同时，儿子也应与父亲（或其其他法定代理人）进行沟通，确保决策符合父亲的意愿和利益。
尊重医疗建议：
- 儿子应尊重医生的医疗建议，并在充分了解的基础上做出决策。
- 若对医生的建议有疑问或不满，可以寻求第二意见或咨询其他医疗专家。
法律咨询：
- 若对医疗决策的法律后果存在疑虑或担忧，儿子可以咨询专业律师以获取法律建议。
- 律师可以根据具体情况提供法律意见和帮助，确保儿子的决策合法合规。
总结：在父亲重病住院期间儿子申请出院放弃治疗导致次日死亡的情况下，儿子是否需要承担法律责任取决于多个因素。一般情况下，若儿子的决策是基于合理的医疗建议和父亲的真实意愿做出，且没有其他违法行为，则他通常不承担法律责任。但若存在过错或违法行为，则可能面临相应的法律责任。因此，在做出任何医疗决策之前，儿子应充分了解病情、治疗选项以及可能的后果，并在必要时咨询专业律师以获取法律建议。