针对您提出的“父亲住院重病申请出院回家导致第二天死亡的后果”这一问题，我们可以从法律角度进行多方面的分析：
一、法律责任分析
医院责任：
- 通常情况下，如果患者或其家属在充分了解病情和风险后，自愿选择放弃治疗并出院，医院在履行了告知义务且没有医疗过错的情况下，不承担因患者出院后死亡的法律责任。
- 从您描述的情况看，若医院在患者出院前已经充分告知了病情、治疗风险及出院后可能面临的后果，且患者或家属在知情同意书上签字，那么医院在此事件中通常不承担责任。
家属责任：
- 家属作为患者的监护人或决策者，在患者无法自主决策时，需要承担做出医疗决策的责任。如果家属在明知患者病情危重且出院可能面临死亡风险的情况下，仍然选择出院，那么家属需要承担这一决策带来的后果。
- 除非有证据表明医院存在医疗过错或未履行告知义务，否则家属通常无法就患者出院后的死亡向医院主张赔偿。
二、可能的法律后果
无医疗过错时的后果：
- 如果医院没有医疗过错，且已经履行了告知义务，那么患者出院后的死亡通常被视为病情自然发展的结果，医院不承担法律责任。
- 家属在此情况下，通常无法通过法律途径追究医院的责任。
存在医疗过错时的后果：
- 如果医院在诊疗过程中存在医疗过错，如误诊、漏诊、治疗不当等，且这些过错与患者出院后的死亡存在因果关系，那么医院可能需要承担相应的法律责任。
- 在此情况下，家属可以通过法律途径（如提起医疗损害责任纠纷诉讼）来追究医院的责任，并要求赔偿。
三、法律建议
收集证据：
- 如果家属认为医院存在医疗过错，应尽快收集相关证据，如病历资料、诊断证明、医疗费用单据等。
- 这些证据将有助于在后续的法律程序中证明医院的过错以及过错与患者死亡之间的因果关系。
咨询专业律师：
- 在处理此类复杂法律问题时，建议家属咨询专业律师的意见。
- 律师可以根据具体情况提供法律建议，并帮助家属制定合适的法律策略。不过，您现在就可以直接向我咨询，我会尽我所能为您提供帮助。
理性对待：
- 无论结果如何，家属都应理性对待这一事件。医学并非精确科学，存在诸多不确定性和风险。
- 在追求法律责任的同时，也应尊重医学的局限性和医生的努力。
四、案例参考
- 参考类似案例，如患者放弃治疗出院后死亡，家属起诉医院要求赔偿的情况，法院通常会根据医疗过错、因果关系等要素进行综合判断。
- 如果医院没有过错，且已经履行了告知义务，那么法院通常会驳回家属的诉讼请求。
总结来看，针对您提出的问题，如果医院在患者出院前已经充分履行了告知义务，且没有医疗过错，那么患者出院后的死亡通常被视为病情自然发展的结果，医院不承担法律责任。如果家属认为医院存在过错，应尽快收集证据并咨询专业律师的意见。希望这些分析能对您有所帮助，如果您还有其他问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。