机关纪检的主要责任是监督、执纪、问责，其主要义务是忠于宪法和法律，忠实履行纪检监察职责。具体来说：

一. 机关纪检的责任

1. 监督责任：根据《中国共产党章程》和相关党内法规，机关纪检需要监督党的组织和党员领导干部是否遵守党的章程和其他党内法规，是否贯彻执行党的路线、方针、政策和决议，以及是否遵守党的纪律。这种监督是全面的，包括政治监督、组织监督、廉洁监督、群众监督、工作监督、生活监督等各个方面。
2. 执纪责任：机关纪检需要维护党的纪律，检查党的纪律执行情况，对违反党纪的行为进行查处。这包括对违纪行为进行初步核实、立案审查、作出处理决定等。
3. 问责责任：对于党组织和党员领导干部失职失责、不履行或者不正确履行职责的，机关纪检需要进行问责，以维护党的纪律的严肃性和权威性。

二. 机关纪检的义务

1. 忠于宪法和法律：机关纪检在履行职责过程中，必须严格遵守宪法和法律，以事实为依据，以法律为准绳，公正、公平、公开地处理每一个案件。
2. 忠实履行纪检监察职责：机关纪检需要忠实履行自己的职责，不畏艰难，不惧压力，敢于担当，勇于作为，为党风廉政建设和反腐败斗争贡献力量。

• 例如，在某政府机关中，纪检部门发现某领导干部存在违规收受礼品的行为，他们及时进行了调查和处理，这就是机关纪检在履行其监督责任。同时，他们在处理过程中严格遵守了法律法规，确保了处理的公正性和合法性，这也体现了他们忠于宪法和法律的义务。

综上所述，机关纪检的责任和义务是相辅相成的，它们共同构成了机关纪检工作的基础和核心。只有明确并认真履行这些责任和义务，机关纪检才能有效地发挥其在党风廉政建设和反腐败斗争中的重要作用。