劳动合同到期后，劳动者有权选择不签竞业协议。以下是对此问题的详细分析：

一、竞业协议的法律性质

竞业协议是用人单位与劳动者约定在解除或者终止劳动合同后，在一定期限内限制劳动者到与本单位生产或者经营同类产品、从事同类业务的有竞争关系的其他用人单位，或者自己开业生产或者经营同类产品、从事同类业务的协议。它是一种独立的法律约定，并不完全依附于劳动合同。

二、劳动合同到期后的权利选择

1. 自主决定权：从法律角度看，合同到期意味着原劳动合同关系终止。此时，劳动者对于是否签订竞业协议具有自主决定权。若劳动者不同意签订，用人单位不能强迫。
2. 经济补偿的考量：若用人单位为竞业协议约定了合理的经济补偿，且竞业限制期限、范围等符合法律规定，劳动者在权衡利弊后，也可选择签订竞业协议，以获取相应补偿并履行相应义务。

三、竞业协议的有效要件

1. 真实意思表示：竞业协议必须是双方真实意思的表示，内容不违反法律法规的强制性规定。
2. 明确约定：协议中应明确约定竞业限制的期限（一般不超过二年）、范围以及经济补偿等内容。
3. 经济补偿：用人单位需按照约定向劳动者支付竞业限制补偿金，这是劳动者履行竞业限制义务的前提。若用人单位未支付经济补偿，劳动者有权主张解除竞业协议。

四、不签竞业协议的法律后果

1. 无违约责任：若劳动者选择不签竞业协议，且未违反其他与用人单位的约定或法律法规，则无需承担违约责任。
2. 自由择业权：不签竞业协议意味着劳动者在劳动合同到期后，可以自由选择到与原用人单位有竞争关系的其他单位工作，或者自己开业生产或者经营同类产品、从事同类业务。

五、建议与注意事项

1. 审慎考虑：劳动者在决定是否签订竞业协议时，应审慎考虑自己的职业规划、经济补偿的合理性以及竞业限制对自己未来就业的影响。
2. 明确条款：若决定签订竞业协议，应确保协议中的条款明确、具体，包括竞业限制的期限、范围、经济补偿的数额和支付方式等。
3. 咨询专业意见：如有疑虑或争议，建议及时咨询专业律师，以了解自己的权利和义务，避免潜在的法律纠纷。

总结来看，劳动合同到期后，劳动者有权选择不签竞业协议。在做出决定时，应充分考虑自己的职业规划和经济补偿的合理性，并确保协议中的条款明确、具体。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。