在录口供的过程中，通常情况下，当事人是不被允许自行录音的。这一规定主要基于以下几点考虑：

首先，录口供通常是在司法机关等正规场合进行，其核心目的是为了获取准确、可靠的证据和信息，从而确保司法程序的公正性和合法性。如果允许当事人自行录音，那么录音内容可能会存在被篡改、误导或选择性记录的风险，这将直接影响到口供的真实性和可信度，进而可能对整个司法案件的公正裁决产生不利影响。

其次，从实际操作的角度来看，自行录音可能会干扰到司法机关的正常询问流程，甚至可能引发不必要的争议和误解。司法机关在录口供时，通常会采用专业的记录设备和程序，以确保记录的准确性和完整性。而自行录音则可能无法达到这样的专业标准。

然而，在特殊情况下，如果当事人对录口供的过程存在疑虑或担忧，或者认为自己的合法权益可能受到侵害，他们可以向司法机关提出相关要求。在这种情况下，经司法机关批准，并遵循严格的程序和规定后，当事人可能会被允许进行录音等记录。但这一过程需要严格遵循法律程序，以确保整个过程的合法性和公正性。

以您提到的案例为例，小李在录口供过程中感到不安，担心自身权益受损，因此提出要自行录音留存。但司法人员当场拒绝了他的请求，因为一般情况下是不允许当事人自行录音的。如果小李确实认为有必要进行录音，他应该向司法机关提出正式申请，并等待批准。

综上所述，在一般情况下，录口供时当事人是不被允许自行录音的。但在特殊情况下，经司法机关批准并遵循严格程序后，可能会被允许进行录音等记录。