在约定的期限届满后未履行债务而出具没有还款日期的欠款条，诉讼时效期间应从债权人要求债务人履行义务的宽限期届满之日起计算，或者从债权人明确表示不履行义务之日起计算，但债务人在债权人第一次向其主张权利之时明确表示不履行义务的，诉讼时效期间从债务人明确表示不履行义务之日起计算。以下是对此问题的详细分析：
法律依据与理解
根据《中华人民共和国民法典》及相关司法解释，诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。在民间借贷中，若原借款合同约定了还款期限，债务人未按期履行，随后出具了没有还款日期的欠款条，此时诉讼时效的计算需结合具体情况。
宽限期届满之日：若债权人在债务人未履行原借款合同义务后，给予了债务人一定的宽限期，并要求其在宽限期内履行，那么诉讼时效期间应从宽限期届满之日起计算。这是因为，在宽限期内，债务人仍有履行义务的机会，债权人也有权期待债务人履行。宽限期届满后，若债务人仍未履行，则债权人知道或应当知道其权利受到了损害。
明确表示不履行之日：若债权人在债务人未履行原借款合同义务后，未给予宽限期，而是直接要求债务人履行，且债务人明确表示不履行，那么诉讼时效期间应从债务人明确表示不履行义务之日起计算。这是因为，债务人的明确表示使得债权人知道或应当知道其权利已经无法通过债务人的自愿履行来实现。
实际应用与注意事项
证据收集：在实际操作中，债权人应尽可能收集并保存与债务人沟通的相关证据，如聊天记录、录音、书面通知等，以证明其曾要求债务人履行义务及债务人拒绝履行的情况。这些证据在诉讼中对于确定诉讼时效的起算点至关重要。
时效中断与中止：需要注意的是，诉讼时效期间可能因债权人向债务人提出履行请求、债务人同意履行义务、债权人提起诉讼或申请仲裁等情形而中断。中断后，诉讼时效期间重新计算。此外，若因不可抗力或其他正当理由导致债权人不能行使请求权，诉讼时效期间可能中止。中止的原因消除后，诉讼时效期间继续计算。
及时主张权利：为了避免因诉讼时效期间届满而丧失胜诉权，债权人应在知道或应当知道权利受到损害后及时主张权利。这包括向债务人发出书面通知、提起诉讼或申请仲裁等。
特殊情况处理
若欠款条上未注明还款日期，但双方有口头约定：在这种情况下，诉讼时效的计算可能因口头约定的具体内容而有所不同。若口头约定了明确的还款日期，则诉讼时效期间应从该日期届满之日起计算；若口头约定模糊或未约定具体日期，则可能需要根据上述宽限期届满之日或明确表示不履行之日来确定诉讼时效的起算点。
若债务人下落不明：在债务人下落不明的情况下，债权人可能难以直接向其主张权利。此时，债权人可以通过公告方式向债务人送达履行义务的通知，并保留相关证据。诉讼时效期间可能从公告期满之日起计算，但具体规定可能因地区而异，需结合当地司法实践进行判断。
综上所述，对于在约定的期限届满后未履行债务而出具没有还款日期的欠款条的情况，诉讼时效期间的计算需结合具体情形进行判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。