抵押人在贷款第二年还清后，是否有权终止抵押合同，需视具体情况而定。以下从不同角度进行分析：
一、抵押合同的具体约定
合同条款：首先，应仔细审查抵押合同中的具体条款。合同中可能明确规定了抵押期限、解除条件以及双方的权利义务。如果合同中明确约定了贷款还清后抵押权自动解除，或者规定了特定的解除条件，那么抵押人在贷款还清后，有权按照合同约定要求解除抵押。
合同解释：如果合同条款存在模糊或歧义，应根据《中华人民共和国民法典》中关于合同解释的规定，结合合同目的、交易习惯以及诚信原则进行解释。在此情况下，可能需要借助法律专业人士的帮助来准确理解合同条款。
二、法律规定
抵押权的消灭：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，抵押权与其担保的债权同时存在，债权消灭的，抵押权也消灭。因此，如果贷款已经还清，即主债权已经消灭，那么抵押权作为从权利也应当随之消灭。这意味着，在法律上，抵押人有权要求解除抵押。
抵押权的实现与消灭：抵押权的实现通常发生在债务人不履行到期债务或者发生当事人约定的实现抵押权的情形时。如果贷款已经还清，且没有发生其他需要实现抵押权的情形，那么抵押权自然应当消灭。
三、实际操作与注意事项
办理抵押注销手续：即使抵押权在法律上已经消灭，抵押人仍需与抵押权人（通常是银行）共同办理抵押注销手续，以彻底解除抵押状态。这通常涉及提交相关证明文件、填写注销申请表等步骤。
保留证据：在办理抵押注销手续前，抵押人应确保已保留好贷款还清的证明文件，如还款凭证、结清证明等。这些文件在办理注销手续时可能被要求提供。
沟通与协商：如果抵押权人拒绝配合办理抵押注销手续，抵押人可以尝试与其进行沟通协商，明确表达自己的诉求和法律依据。如果协商无果，抵押人可以考虑通过法律途径解决争议。
四、特殊情况考虑
合同中的特别约定：如果抵押合同中存在特别约定，如抵押权人在贷款还清后仍保留一定期限的抵押权等，那么抵押人需遵守这些特别约定。在此情况下，抵押人可能无权在贷款还清后立即要求解除抵押。
其他担保方式的存在：如果抵押合同是作为其他担保方式（如保证、质押等）的补充而签订的，那么即使贷款已经还清，抵押人也可能因其他担保方式的存在而无法立即解除抵押。这需要根据具体合同条款和法律规定进行综合判断。
建议：抵押人在贷款还清后，应首先仔细审查抵押合同中的具体条款，了解自己的权利和义务。如有需要，可以咨询专业律师以获取更准确的法律意见。同时，与抵押权人保持沟通协商，确保按照法律规定和合同约定顺利办理抵押注销手续。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。