结论：公司的法律顾问到期后，是否可以起诉公司，取决于法律顾问与公司之间的具体约定以及法律顾问所主张的权利基础，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、基于合同关系的分析
合同到期后的权利义务：
- 如果法律顾问与公司之间签订了书面合同，并且合同中明确规定了服务期限、服务内容、报酬支付等条款，那么在合同到期后，除非合同中有特别约定（如续约条款、违约责任等），否则双方的权利义务通常按照合同约定终止。
- 在此情况下，法律顾问一般不能仅凭合同到期就起诉公司要求继续履行合同或支付额外费用，除非公司存在违约行为（如未按时支付报酬、违反保密义务等）。
合同到期后的续约或新合同：
- 如果法律顾问希望在合同到期后继续为公司提供服务，双方可以协商续约或签订新的合同。
- 如果双方未能就续约或新合同达成一致，法律顾问不能因此起诉公司要求强制续约或签订新合同。
二、基于侵权或其他法律关系的分析
侵权行为：
- 如果法律顾问认为公司在合同履行过程中或合同到期后存在侵权行为（如侵犯其知识产权、名誉权等），法律顾问可以依据相关法律规定起诉公司要求赔偿损失。
- 在此情况下，法律顾问需要提供充分的证据证明公司的侵权行为以及因此造成的损失。
其他法律关系：
- 如果法律顾问与公司之间存在其他法律关系（如劳动关系、合伙关系等），并且这些关系在合同到期后仍然存续或产生争议，法律顾问可以依据相关法律规定起诉公司。
- 例如，如果法律顾问同时是公司的员工，并且认为公司在劳动合同到期后未依法支付经济补偿或存在其他违法行为，法律顾问可以依据劳动法规定起诉公司。
三、法律建议
审查合同条款：
- 法律顾问在合同到期前应仔细审查合同条款，了解双方的权利义务以及合同到期后的处理方式。
- 如果合同中有不明确或存在争议的条款，法律顾问应及时与公司沟通并寻求解决方案。
保留证据：
- 无论法律顾问是否打算起诉公司，都应保留与合同履行相关的所有证据（如合同文本、付款凭证、沟通记录等）。
- 这些证据在可能发生的法律纠纷中至关重要。
寻求专业法律帮助：
- 如果法律顾问对合同到期后的法律问题存在疑问或不确定如何处理，应及时寻求专业法律帮助。
- 作为专业律师，我可以为法律顾问提供详细的法律分析和建议，帮助其维护合法权益。
总结：公司的法律顾问到期后是否可以起诉公司，取决于双方之间的具体约定以及法律顾问所主张的权利基础。在处理此类问题时，法律顾问应仔细审查合同条款、保留相关证据，并在必要时寻求专业法律帮助。如果您作为法律顾问或公司方面对此有进一步疑问，欢迎直接向我咨询。