结论前置：员工因午休晚几分钟起床被辞退，公司的做法很可能构成违法解除劳动合同，员工有权要求公司支付赔偿金或继续履行劳动合同。
法律分析：
劳动合同解除的合法性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同应当有合法、充分的理由，并且需要遵循法定的程序。员工午休晚几分钟起床，并不构成严重违反公司规章制度或劳动纪律的行为，因此公司以此为由解除劳动合同，缺乏合法依据。
公司规章制度的合理性：
- 即使公司规章制度中有关于午休时间的规定，但该规定应当合理且符合劳动法的原则。如果规章制度过于严苛，对员工进行不合理的约束，那么该规章制度可能因违反公序良俗或劳动法原则而被认定为无效。在此情况下，公司依据无效的规章制度解除劳动合同，同样构成违法解除。
员工的权利救济：
- 员工在遭遇违法解除劳动合同后，有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付赔偿金或继续履行劳动合同。赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍，经济补偿金则根据员工在公司的工作年限和工资水平来确定。
具体建议：
- 收集证据：员工应当收集相关证据，如劳动合同、公司规章制度、辞退通知等，以证明公司违法解除劳动合同的事实。
- 申请仲裁：在收集到足够证据后，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付赔偿金或继续履行劳动合同。
- 寻求法律援助：如果员工在仲裁过程中遇到困难或需要法律帮助，可以寻求专业律师的协助，以确保自己的合法权益得到维护。
可能后果：
- 如果仲裁委员会认定公司违法解除劳动合同，那么公司可能需要支付赔偿金给员工，或者继续履行与员工的劳动合同。
- 如果公司拒绝履行仲裁裁决，员工还可以向人民法院申请强制执行，以确保自己的权益得到实现。
总结：员工因午休晚几分钟起床被辞退，公司的做法很可能构成违法解除劳动合同。员工应当积极收集证据，申请劳动争议仲裁，以维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。